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1、（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝ 时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
【解】（1）当P= 时，y=x＋ ,即y= 。
∴y随着x的增大而增大，即P= 时，满足条件（Ⅱ）……3分
又当x=20时，y= =100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P= 时，这种变换满足要求；……6分
（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y= ,……8分
∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分
令x=20,y=60，得k=60 ①
令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②
由①②解得 ， ∴ 。………14分
2、（常州）已知 与 是反比例函数 图象上的两个点．
（1）求 的值；
（2）若点 ，则在反比例函数 图象上是否存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由 ，得 ，因此 ． 2分
（2）如图1，作 轴， 为垂足，则 ， ， ，因此 ．
由于点 与点 的横坐标相同，因此 轴，从而 ．
当 为底时，由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ，
故不符题意． 3分
当 为底时，过点 作 的平行线，交双曲线于点 ，
过点 分别作 轴， 轴的平行线，交于点 ．
由于 ，设 ，则 ， ，
由点 ，得点 ．
因此 ，
解之得 （ 舍去），因此点 ．
此时 ，与 的长度不等，故四边形 是梯形． 5分
如图2，当 为底时，过点 作 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 ．
由于 ，因此 ，从而 ．作 轴， 为垂足，
则 ，设 ，则 ，
由点 ，得点 ，
因此 ．
解之得 （ 舍去），因此点 ．
此时 ，与 的长度不相等，故四边形 是梯形． 7分
如图3，当过点 作 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 时，
同理可得，点 ，四边形 是梯形． 9分
综上所述，函数 图象上存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形，点 的坐标为： 或 或 ． 10分
3、（福建龙岩）如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，点 在 轴上，点 在 轴上，且 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线的对称轴 ………2分
（2） …………5分
把点 坐标代入 中，解得 ………6分
…………………………………………7分
（3）存在符合条件的点 共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与 轴交于 ，与 交于 ．
过点 作 轴于 ，易得 ， ， ，
① 以 为腰且顶角为角 的 有1个： ．
8分
在 中，
9分
②以 为腰且顶角为角 的 有1个： ．
在 中， 10分
11分
③以 为底，顶角为角 的 有1个，即 ．
画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ，此时平分线必过等腰 的顶点 ．
过点 作 垂直 轴，垂足为 ，显然 ．
．
于是 13分
14分
注：第（3）小题中，只写出点 的坐标，无任何说明者不得分．
4、（福州）如图12，已知直线 与双曲线 交于 两点，且点 的横坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）若双曲线 上一点 的纵坐标为8，求 的面积；
（3）过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点（ 点在第一象限），若由点 为顶点组成的四边形面积为 ，求点 的坐标．
解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时， = 2 .
∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）.
∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,
∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一：如图12-1，
∵ 点C在双曲线 上，当 = 8时， = 1
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点A、C分别做 轴、 轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .
S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 .
S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二：如图12-2，
过点 C、A分别做 轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点C在双曲线 上，当 = 8时， = 1 .
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).
∵ 点C、A都在双曲线 上 ,
∴ S△COE = S△AOF = 4 。
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA .
∵ S梯形CEFA = ×（2+8）×3 = 15 ,
∴ S△COA = 15 .
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ，OA=OB .
∴ 四边形APBQ是平行四边形 .
∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 .
设点P的横坐标为 （ > 0且 ）,
得P ( , ) .
过点P、A分别做 轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 .
若0＜ ＜4，如图12-3，
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ .
解得 = 2， = - 8(舍去) .
∴ P（2，4）.
若 ＞ 4，如图12-4，
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ ，
解得 = 8， = - 2 (舍去) .
∴ P（8，1）.
∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.
5、（甘肃陇南）如图，抛物线 交 轴于A、B两点，交 轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是 3，点B的横坐标是1．
(1)求 、 的值；
(2）求直线PC的解析式；
(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系，并说明理由．(参考数： ， ， )
解： (1)由已知条件可知： 抛物线 经过A(-3，0)、B(1，0)两点．
∴ ……………………………………2分
解得 ． ………………………3分
(2) ∵ ， ∴ P(-1，-2)，C ． …………………4分
设直线PC的解析式是 ，则 解得 ．
∴ 直线PC的解析式是 ． …………………………6分
说明：只要求对 ，不写最后一步，不扣分．
(3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．
设直线PC与 轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分
在Rt△OCD中，∵ OC= ， ，
∴ ． …………8分
∵ OA=3， ，∴AD=6． …………9分
∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，
∴ △COD∽△AED． ……………10分
∴ ， 即 ． ∴ ． …………………11分
∵ ，
∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分
6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留 ）．（3分）
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）
（3）当 的半径 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）
解：（1）连接 ，由勾股定理求得：
1分
2分
（2）连接 并延长，与弧 和 交于 ，
1分
弧 的长： 2分
圆锥的底面直径为： 3分
， 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 4分
（3）由勾股定理求得：
弧 的长： 1分
圆锥的底面直径为： 2分
且
3分
即无论半径 为何值， 4分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
7、（河南）如图，对称轴为直线x＝ 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是 ，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设 秒后，直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当 时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与 相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与 不相似？请给出你的结论，并加以证明.
9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分
∴ ．即 ．∴y= (0＜x＜4)．
且当x=2时，y有最大值 ．…………………………………………………4分
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则 ∴
y= ．…………………………………………………………8分
(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分
直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．
将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，
∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分
由 得 ∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分
（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；
（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝ 时，这种变换满足上述两个要求；
（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）
【解】（1）当P= 时，y=x＋ ,即y= 。
∴y随着x的增大而增大，即P= 时，满足条件（Ⅱ）……3分
又当x=20时，y= =100。而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P= 时，这种变换满足要求；……6分
（2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a）h≤20；（b）若x=20,100时，y的对应值m，n能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y= ,……8分
∵a＞0，∴当20≤x≤100时，y随着x的增大…10分
令x=20,y=60，得k=60 ①
令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②
由①②解得 ， ∴ 。………14分
2、（常州）已知 与 是反比例函数 图象上的两个点．
（1）求 的值；
（2）若点 ，则在反比例函数 图象上是否存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由 ，得 ，因此 ． 2分
（2）如图1，作 轴， 为垂足，则 ， ， ，因此 ．
由于点 与点 的横坐标相同，因此 轴，从而 ．
当 为底时，由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 ，
故不符题意． 3分
当 为底时，过点 作 的平行线，交双曲线于点 ，
过点 分别作 轴， 轴的平行线，交于点 ．
由于 ，设 ，则 ， ，
由点 ，得点 ．
因此 ，
解之得 （ 舍去），因此点 ．
此时 ，与 的长度不等，故四边形 是梯形． 5分
如图2，当 为底时，过点 作 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为 ．
由于 ，因此 ，从而 ．作 轴， 为垂足，
则 ，设 ，则 ，
由点 ，得点 ，
因此 ．
解之得 （ 舍去），因此点 ．
此时 ，与 的长度不相等，故四边形 是梯形． 7分
如图3，当过点 作 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为 时，
同理可得，点 ，四边形 是梯形． 9分
综上所述，函数 图象上存在点 ，使得以 四点为顶点的四边形为梯形，点 的坐标为： 或 或 ． 10分
3、（福建龙岩）如图，抛物线 经过 的三个顶点，已知 轴，点 在 轴上，点 在 轴上，且 ．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出 三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点，是否存在 是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点 坐标；不存在，请说明理由．
解：（1）抛物线的对称轴 ………2分
（2） …………5分
把点 坐标代入 中，解得 ………6分
…………………………………………7分
（3）存在符合条件的点 共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与 轴交于 ，与 交于 ．
过点 作 轴于 ，易得 ， ， ，
① 以 为腰且顶角为角 的 有1个： ．
8分
在 中，
9分
②以 为腰且顶角为角 的 有1个： ．
在 中， 10分
11分
③以 为底，顶角为角 的 有1个，即 ．
画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ，此时平分线必过等腰 的顶点 ．
过点 作 垂直 轴，垂足为 ，显然 ．
．
于是 13分
14分
注：第（3）小题中，只写出点 的坐标，无任何说明者不得分．
4、（福州）如图12，已知直线 与双曲线 交于 两点，且点 的横坐标为 ．
（1）求 的值；
（2）若双曲线 上一点 的纵坐标为8，求 的面积；
（3）过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点（ 点在第一象限），若由点 为顶点组成的四边形面积为 ，求点 的坐标．
解：(1)∵点A横坐标为4 , ∴当 = 4时， = 2 .
∴ 点A的坐标为（ 4，2 ）.
∵ 点A是直线 与双曲线 （k>0）的交点 ,
∴ k = 4 ×2 = 8 .
(2) 解法一：如图12-1，
∵ 点C在双曲线 上，当 = 8时， = 1
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ) .
过点A、C分别做 轴、 轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON .
S矩形ONDM= 32 ， S△ONC = 4 ， S△CDA = 9， S△OAM = 4 .
S△AOC= S矩形ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二：如图12-2，
过点 C、A分别做 轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点C在双曲线 上，当 = 8时， = 1 .
∴ 点C的坐标为 ( 1, 8 ).
∵ 点C、A都在双曲线 上 ,
∴ S△COE = S△AOF = 4 。
∴ S△COE + S梯形CEFA = S△COA + S△AOF .
∴ S△COA = S梯形CEFA .
∵ S梯形CEFA = ×（2+8）×3 = 15 ,
∴ S△COA = 15 .
（3）∵ 反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形 ,
∴ OP=OQ，OA=OB .
∴ 四边形APBQ是平行四边形 .
∴ S△POA = S平行四边形APBQ = ×24 = 6 .
设点P的横坐标为 （ > 0且 ）,
得P ( , ) .
过点P、A分别做 轴的垂线，垂足为E、F，
∵ 点P、A在双曲线上，∴S△POE = S△AOF = 4 .
若0＜ ＜4，如图12-3，
∵ S△POE + S梯形PEFA = S△POA + S△AOF,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ .
解得 = 2， = - 8(舍去) .
∴ P（2，4）.
若 ＞ 4，如图12-4，
∵ S△AOF+ S梯形AFEP = S△AOP + S△POE,
∴ S梯形PEFA = S△POA = 6 .
∴ ，
解得 = 8， = - 2 (舍去) .
∴ P（8，1）.
∴ 点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）.
5、（甘肃陇南）如图，抛物线 交 轴于A、B两点，交 轴于点C，点P是它的顶点，点A的横坐标是 3，点B的横坐标是1．
(1)求 、 的值；
(2）求直线PC的解析式；
(3）请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系，并说明理由．(参考数： ， ， )
解： (1)由已知条件可知： 抛物线 经过A(-3，0)、B(1，0)两点．
∴ ……………………………………2分
解得 ． ………………………3分
(2) ∵ ， ∴ P(-1，-2)，C ． …………………4分
设直线PC的解析式是 ，则 解得 ．
∴ 直线PC的解析式是 ． …………………………6分
说明：只要求对 ，不写最后一步，不扣分．
(3) 如图，过点A作AE⊥PC，垂足为E．
设直线PC与 轴交于点D，则点D的坐标为(3，0)． ………………………7分
在Rt△OCD中，∵ OC= ， ，
∴ ． …………8分
∵ OA=3， ，∴AD=6． …………9分
∵ ∠COD=∠AED=90o，∠CDO公用，
∴ △COD∽△AED． ……………10分
∴ ， 即 ． ∴ ． …………………11分
∵ ，
∴ 以点A为圆心、直径为5的圆与直线PC相离． …………12分
6、（贵阳）如图14，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形．
（1）求这个扇形的面积（结果保留 ）．（3分）
（2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．（4分）
（3）当 的半径 为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．（5分）
解：（1）连接 ，由勾股定理求得：
1分
2分
（2）连接 并延长，与弧 和 交于 ，
1分
弧 的长： 2分
圆锥的底面直径为： 3分
， 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 4分
（3）由勾股定理求得：
弧 的长： 1分
圆锥的底面直径为： 2分
且
3分
即无论半径 为何值， 4分
不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
7、（河南）如图，对称轴为直线x＝ 的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）①当四边形OEAF的面积为24时，请判断OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8、（湖北黄岗）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是 ，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设 秒后，直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当 时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与 相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与 不相似？请给出你的结论，并加以证明.
9、（湖北荆门）如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．…………………………………………………………2分
∴ ．即 ．∴y= (0＜x＜4)．
且当x=2时，y有最大值 ．…………………………………………………4分
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．……6分
设过此三点的抛物线为y=ax2＋bx＋c，则 ∴
y= ．…………………………………………………………8分
(3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．……………………9分
直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)．
将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)，
∴该直线为y=x＋1．……………………………………………………………10分
由 得 ∴Q(5，6)．
故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．……………………………12分
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