Question

证明|x-a|+|x-b|≥|a-b|和|x-a|-|x-b|≤|a-b|

Answer 1

在复数坐标系中，|x-a| |x-b| |a-b| 为三角形的三个边
（画出向量x，a，b，利用向量减法的意义，得出差为三角形的三个边）
根据三角形两边之和大于第三边
当x=a=b时，取等号
所以|x-a|+|x-b|≥|a-b|
同理依据三角形两边之差小于第三边，得出|x-a|-|x-b|≤|a-b|

Answer 2

首先，证明绝对值不等式
|a+b|² = a²+b²+2ab≤|a|²+|b|²+2|a||b| = (|a|+|b|)²，当且仅当ab≥0时等号成立
|a+b|² = a²+b²+2ab≥|a|²+|b|²-2|a||b| = (|a|-|b|)²，当且仅当ab≤0时等号成立
所以|a|-|b| ≤ |a+b| ≤ |a|+|b|
其次，根据上述绝对值不等式
|x-a|+|x-b| = |a-x|+|x-b| ≥ |(a-x)+(x-b)| = |a-b|
|x-a|-|x-b| = |a-x| - |x-b|≤ |(a-x)+(x-b)| = |a-b|

Answer 3

|x-a|+|x-b|≥|(x-a)-(x-b)|=|a-b|
|x-a|-|x-b|≤|(x-a)-(x-b)|=|a-b|

其实就是用不等式|x|-|y|≤|x+y|≤|x|+|y| 了

追问

|x|-|y|≤|x+y|≤|x|+|y|
那为什么|x-a|-|x-b|≤|(x-a)-(x-b)|=|a-b|？

追答

把x-a看成x 把x-b看成y

追问

|x-a|-|x-b|≤|(x-a)-(x-b)| 中间应该是加号啊

追答

其实是这样的|x|-|y|≤|x-y|≤|x|+|y|也是恒成立的

Answer 4

这个有点难，记下来以后做