Question

已知函数f(x)={-x^3+x^2,x<1,alnx,x>=1.求f(x)在[-1,e]上的最大值

Answer 1

解：
令f1(x)=-x^3+x^2 (x<1) f2(x)=alnx (x>=1)
对f(x)求导并令f(x)'≥0：
f1(x)'=-3x^2+2x≥0
解得：
增区间为：[0,2/3]
减区间为：(﹣∞，0]U[2/3,1)
f1(-1)=2 f1(2/3)=4/27
故f1(x)在[-1,e]的最大值为f1(-1)=2
f2(x)'=a/x≥0 (x>=1)
故当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减；a=0时，函数为f2(x)=0
由图像分析可知：
在[1,+∞)上，当a<=0时，f(x)max=f1(-1)=2
当a>0时，
f2(x)max=f2(e)=a
综上可有：
a≤2时，f(x)max=2
a>2时，f(x)max=a

Answer 2

f'=-3x^2+2x (﹣∞，1）
令f'=0 X=2/3 X=0 所以(﹣∞，0）递减（0,2/3)递增（2/3,1）递减 左边 为f(-1)=2
f(2/3)=4/27
∴ X＜1 的最大值为 2
（若a＞0 右边递增 最大值为a 所以 当 0＜a＜=2 时 总的最大值为2）
（当a＞2 时 最大值为a;）
（当a＜0时，右边递减 最大值为 0；当a=0时 右边等于0，两者总的最大值都为2）