Question

在△ABC中,已知tanα,tanβ是x的方程x2+p(x+1)+1=0的两根,求∠C

Answer 1

x²+p(x+1)+1=0
x²+px+p+1=0
韦达定理
tana+tanb=-p
tana*tanb=p+1
tanc=tan(180-a-b)=-tan(a+b)=-[(tana+tanb)/(1-tana*tanb)]=p/(1-p-1)=-1
所以C=135度

Answer 2

依题意有 C = π -A -B
所以
tanC = tan(π -A -B) = - tan(A+B) = - Sin(A+B)/Cos(A+B)
两角和公式展开
得到
-(SinACosB + CosASinB)/(CosACosB - SinASinB)
上下同时除以 CosACosB,得到
-(tanA + tanB)/ (1-tanAtanB)
方程x^2 + p(x+1) + 1 =0应用求根公式
得到两根
x1 = (-p + 根号(p^2-4p-4))/2
x2 = (-p - 根号(p^2-4p-4))/2
则有 x1 + x2 = -p
x1 * x2 = p + 1
所以 tanC = -(-p)/ (1- p-1) = -1
C 是0 ~ π的角
所以有C = 3/4π