Question

加急，求解初三数学题。如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（—8，0），直线BC经过点B

如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（—8，0），直线BC经过点B（—8，6），将四边形OABC绕点O按顺时针旋转a度得到四边形OA’B’C’，此时直线OA’、直线B'C'分别与直线BC相交与P、Q。
（1）四边形的形状是（ ），当a=90°时，BP：PQ的值是（ ）。
（2）①如图2，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在y轴正半轴上时，求BP：PQ的值：
②如图3，当四边形OA’B’C’的顶点B’落在直线BC上时，求△OPB’的面积。
（3）在四边形OABC旋转过程中，当0°<a≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=1/2BQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（注：请说明下求P坐标的方法，谢谢）
C的坐标是（0，6）。A,B,C旋转的对应点分别是A',B',C'

Answer 1

解：
（1）四边形的形状是矩形；根据题意即是矩形的长与宽的比，即 ．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，∴△COP∽△A′OB′．
∴ ，即 ，∴CP= ，BP=BC-CP= ．
同理△B′CQ∽△B′C′O，∴ ，即 ，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴ ．
②在△OCP和△B′A′P中， ，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．设B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）2+62=x2，解得x= ．
∴S△OPB′= ．

（3）存在这样的点P和点Q，使BP= BQ．
点P的坐标是P1（-9- ，6），P2（- ，6）．
【对于第（3）题，我们提供如下详细解答，对学生无此要求】
过点Q画QH⊥OA′于H，连接OQ，则QH=OC′=OC，
∵S△POQ= PQ•OC，S△POQ= OP•QH，∴PQ=OP．
设BP=x，∵BP= BQ，∴BQ=2x，
如图1，当点P在点B左侧时，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，
解得 ， （不符实际，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+ ，∴P1（-9- ，6）．
如图2，当点P在点B右侧时，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）2+62=x2，解得x= ．
∴PC=BC-BP= ，∴P2（- ，6），
综上可知，存在点P1（-9- ，6），P2（- ，6），使BP= BQ．

Answer 2

点C的坐标是（0，6），A,B,C的旋转之后的对应点分别是A',B',C'

Answer 3

（1）矩形；4：3
（2）1. 7/11 2. 75/4
（3）存在；x=-260/29,y=520/145
x=-56/25,y=192/25

OA'和B'C'为平行直线，距离为6.若BP=1/2BQ，则B到OA'的距离为B到B'C'距离的1/2
分两种情况，B在平行线内，B在平行线外。前者，B到OA'的距离为2，后者，B到OA'的距离为6.
设OA'方程为Ax+y=0, 分别解方程.
前者：y=-2/5x, 后者：y=-24/7x.
有了这两个方程，，知道了点到直线的距离，就可以分别算出P点的坐标了。

追问

前者，B到OA'的距离为2，后者，B到OA'的距离为6。这个是怎么出来的呀

追答

前者是说这个矩形刚刚转动一点，B在OA'和B'C'延长线的中间。