Question

已知角A=60度，P,Q分别是角A的两边上的动点，设AP=X,AQ=Y. 若PQ=根号3，求APQ面积最大值和此时X,Y。

Answer 1

余弦定理
CosA = (x^2 + y^2 - |PQ|^2)/ (2xy) = (x^2 + y^2 - 3)/ (2xy) = 1/2
可得到
x^2 + y^2 -xy = 3
X^2+Y^2≥2XY，所以3=X^2+Y^2-XY≥XY，等号当且仅当X=Y=√3时取
过P做AQ上的高h
则有h = x*sin(60°) = 根号(3)/2 * x
那么面积S = 1/2 * y*h = 根号(3)/4 * xy <= 根号(3)/4 *3
当且仅当 x = y = 根号(3) 时候取到最大值

Answer 2

由余弦定理，3=|PQ|^2=X^2+Y^2-2XYcosA=X^2+Y^2-XY
再由基本不等式，X^2+Y^2≥2XY，所以3=X^2+Y^2-XY≥XY，等号当且仅当X=Y=√3时取
而APQ面积=1/2*XY*sinA=√3/4*XY≤3√3/4，等号当且仅当X=Y=√3时取

Answer 3

S＝XYSIN60°
PQ＾2＝X＾2＋Y＾2－2XYCOS60°
2式求出XY关系代入1式可求