Question

已知抛物线C1:y^2=4x圆C2:(x-1)^2+y^2=1,过抛物线焦点的直线l交C1于A,D两点，交C2于B.C两点

1.|AB|*|CD|的值
2.是否存在直线l，使得k(OA)+k(OB)+k(OC)+k(OD)=3√2，且|AB|,|BC|,|CD|依次成等差数列，若存在，求出所有满足条件的直线l,若不存在，请说明理由。

Answer 1

1.C1的准线为y=-1，焦点为（1，0），由作图可知AB、CD的长度分别为A、D的横坐标值，设过煎焦点的直线方程为y=k(x-1)，代入C1求解的A、D的横坐标分别为[k^2+2-2*（k^2+1）的平方根]/k^2和[k^2+2+2*（k^2+1）的平方根]/k^2，将两个值相乘，结果为1。即积与k无关。
2.AB、BC、CD长度程等差数列，则AB+CD=2*BC=4，有上题可得k=2或k=-2，由第一题中可以求出所有点的坐标，对应的斜率为y坐标除以x坐标，得到的结果，代入两个可能的k值，不满足斜率和条件