Question

高中数学:设{an}是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的n都属于正整数，都有8Sn=(an+2)²

（1）写出数列{an}的前3项
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）
（3）设bn=4/an*an+1,Tn是数列{bn}的前n项和，求使得Tn<m/20对所有n属于整数都成立的最小正整数m的值

Answer 1

(1)[a(n)+2]^2=8s(n),
[a(1)+2]^2=8s(1)=8a(1),[a(1)-2]^2=0,a(1)=2.
[a(2)+2]^2=8s(2)=8[a(1)+a(2)],[a(2)-2]^2=8a(1)=16,a(2)>=2时,a(2)-2=4,a(2)=6,
0<a(2)<2时,a(2)-2=-4,a(2)=-2,矛盾。因此，a(2)=6.
[a(3)+2]^2=8s(3)=8[a(1)+a(2)+a(3)], [a(3)-2]^2=8[a(1)+a(2)]=64,a(3)>=2时，a(3)-2=8,a(3)=10.
0<a(3)<2时，a(3)-2=-8,a(3)=-6,矛盾。因此，a(3)=10.
(2）8a1=(a1+2)^2
得a1=2
8Sn==（an+2）^2①
8S(n-1)=(a(n-1)+2)^2②
①-②得8an=an^2-a(n-1)^2+4an-4a(n-1)
[an-a(n-1)-4](an+a(n-1))=0
因为an+a(n-1)≠0
所以an-a(n-1)-4=0
即an-a(n-1)=4
用累加法得an=4n-2
(3)bn=4/(an×a(n+1))=1/an-1/a(n+1)
Tn=b1=+2+…………+bn=1/a1-1/a(n+1)=1/(2n+1)
所以Tn max=1/3<m/20
m=7