Question

高中数学 求解！！！

过点P（根号10/2 ，0）作倾斜角为α的直线与曲线x²+2y²=1交于点M，N，则|PM|*|PN|的最小值是多少？ 最好有过程 ，谢谢啦~

Answer 1

这个直接根据代数运算呀，求最值都是这样的解法的。先写出过点P的直线方程，Y=k（x-b），然后与曲线联立，再把pm和pn根据联立后所得的式子表示出来，设M(X1，Y1)N(X2，Y2),由韦达定理可以得出X1+X2，X1X2.然后求最小时要借助求导什么的，都是套路了，不明白的话再问我

Answer 2

解：（用直线的参数方程去解决。）
根据题意，直线MN的参数方程是：x=(√10/2)+tcosα ；y=tsinα ，代入x²+2y²=1整理得：
[1+(sinα)^2]t^2+(√10)(cosα) t+3/2=0 ………………(1)
|PM|*|PN|=|t1*t2|=3/{2[1+(sinα)^2]} ……………(2)
因为要使直线与曲线有交点，就必须关于t的方程（1）有解，因而其Δ ≥ 0，即
10(cosα)^2-6[1+(sinα)^2] ≥ 0，解得(sinα)^2 ≤ 1/4
代入（2）得 |PM|*|PN|=|t1*t2|=3/{2[1+(sinα)^2]} ≥ 6/5