Question

椭圆问题

已知中心在原点O，焦点在X轴椭圆，A,B为其左右顶点，B（2,0）过椭圆C的右焦点F的直线交与其点M,N,交直线x=4与点P，且直线PA，PF，pB的斜率成等差数列
1求三角形AMB，与三角形ANB的面积比的取值范围

有加分

Answer 1

由B（2,0）知，a=2 A(-2,0)
设F(c,0) P(4, y')
由直线PA，PF，pB的斜率成等差数列
得y'/(4+2)+y'/(4-2)=2y'/(4-c)
解得c=1
所以b^2=a^2-c^2=4-1=3
故椭圆C的方程为x^2/4+y^2/3=1 (1)
设过F(1,0)的直线方程为y=k(x-1) (2)
三角形AMB，与三角形ANB的底面都为AB=4，高分别为M、N的纵坐标绝对值
所以三角形AMB与三角形ANB的面积比=M、N的纵坐标绝对值
联立(1)(2)消去x，则y1/y2=[2√(k^2+1)-1]/[2√(k^2+1)+1]
=1-2/[2√(k^2+1)+1]
因k^2≥0，所以y1/y2最小值=1-2/3=1/3
当k^2→∞时，y1/y2最大值=1
因此三角形AMB与三角形ANB的面积比的取值范围∈[1/3,1]