Question

一道高一数学题，求解啊啊啊啊啊啊!!!!!速度~

1.已知点(x,y)在圆(x-2)²+(y+3)²=1上

①求x+y的最大值和最小值

②求y/x的最大值和最小值

③求根号下x²+y²+2x-4y+5的最大值和最小值

Answer 1

这是多元函数的条件极值问题，也许你给的题有属于中学的解法，但是这是有一般解法的，要到大学才学得到。

前两个试试参数，因为是圆，很容易参数化，再用三角函数。
最后一个先配方，消掉二次部分，如果还有剩的，再用参数和三角函数。

追问

5555~~可不可以简单详细一点?= =

追答

令 x-2=cos t , y+3=sin t

追问

可以直接这么写吗?有没有什么根据和条件?
如果可以这样写、那下一步要怎么办?

追答

因为点在圆上，这是给定圆的参数方程，所以可以这么写。接着带入，就把两个变量的极值问题变成一个变量的极值问题，就简单多了。

比如第一个, 得到 x+y= -1+sin t+cos t= -1+\sqrt{2}sin(t+\pi/4), 由于 t 可以是任意值, 故 x+y 的值域为 [-1-\sqrt{2}, -1+\sqrt {2}]. \sqrt{2} 表示根号 2, \pi 表示圆周率.

第三个配方后是类似的. 这里用到下面的技巧

a sin t +b cos t=\sqrt{a^2+b^2} (a sin t/\sqrt{a^2+b^2}+ b cos t/\sqrt{a^2+b^2})=
\sqrt{a^2+b^2} sin (t+c), 其中角 c 满足 cos c = a/\sqrt{a^2+b^2}, sin c = b/\sqrt{a^2+b^2}.

这样的 c 一定存在是因为点 (a/\sqrt{a^2+b^2}, b/\sqrt{a^2+b^2}) 在圆 x^2+y^2=1 上.

至于第二个, 可以对 (sin t - 3)/(cos t +2) 求导来找极值点, 这种方法高三会学的. 如果你不会, 可以用二楼的方法或者用下面的方法.

sin t=2 sin t/2 cos t/2, cos t+2=1+2 cos^2 t/2, 这样利用 1=sin^2 t/2+cos^2 t/2 容易得到

(sin t - 3)/(cos t +2)=(2 sin t/2 cos t/2 - 3 sin^2 t/2 - 3 cos^2 t/2)/(3 cos^2 t/2 + sin^2 t/2)

然后分子分母同时除以 sin^2 t/2 (当 sin^2 t/2 不为 0), 或除以 cos^2 t/2 (当 cos^2 t/2 不为 0),
就可以化成 cot t/2 或 tan t/2 的函数, 再作一次变量代换 u=cot t/2 或 u=tan t/2 即可化成有理分式的值域问题.

[注] 实际上, 如果以后你在大学接触一些拓扑学, 那么虽然不知道最值是多少, 但是却可以一眼看出这三个题每一个都一定有最大值和最小值, 并且值域一定是一个闭区间(左右端点相等的情况也叫区间, 只不过是退化的区间). 这本质上和函数的连续性以及圆的紧性和连通性有关, 现在你只需知道有这些名词, 不必深究.

参考资料： 关于紧性, 连通性以及连续性, 参见任何一本写一般拓扑学的书

Answer 2

(1) 设X+Y=Z 通过这条直线和圆有一个交点来做
（2） 设Y=KX 方法同上
（3） 设圆x²+y²+2x-4y+5=r² 用过前两问来做

追问

具体点?

Answer 3

这道题可以有两种方法，方法一：用圆的参数方程换元，从而转化成三角函数题目；方法二：数形结合，利用几何意义做