Question

已知f（x）是是定义在R上的奇函数，且当x小于0时，f（x）=lg（-x）。

1.求f（x）的表达式：2.判断并证明函数f（x）在区间（0,+∞）上的单调性。

Answer 1

因为是奇函数,所以当x =0 时候有f(0) = 0
当x >0时候
-x <0
所以有
f(-x) = lg(x)
又有f(-x) = -f(x) 奇函数性质
所以
f(x) = -f(-x) = -lg(x)
综上
-lg(x) x > 0
f(x) = 0 x=0
lg(-x) x<0

(2)
在区间(0，+∞)上
f(x) = -lg(x)
设有 0 < x1 < x2
f(x2) - f(x1) = -lg(x2) + lg(x1) = lg(x1/x2)
又因为 x1< x2
所以
x1/x2 <1
根据指数函数的定义
lg(x1/x2) < 0
也就是
f(x2) - f(x1)<0
那么对于任意的0 < x1 < x2
都满足f(x2) - f(x1)<0
可以得知
f(x)在（0,+∞）上单调递减

Answer 2

1.当x小于0时，f（x）=lg（-x)f(x)是定义在R上的奇函数则有：f(-x)=-f(x) ①,
设-x<0,即x>0,则有f(-x)=lg(x) ② ,由 ①、②得x>0时，f(x)=-lg(x) ③
即f(x)=lg(-x) x<0; f(x)=-lg(x) x>0.
2.设x1、 x2为（0,+∞)上的任意两点，且0<x1<x2,即X2-X1>0
则有f(x2)-f(x1)=-lg(x2)-(-lg(x1)) =lg(x1/x2)<lg1=0，即f(x2)-f(x1)<0
所以有f(x)在（0,+∞）上单调递减

Answer 3

解：1.f(x)是定义在R上的奇函数则有：f(-x)=-f(x) ①,
设-x<0,即x>0,则有f(-x)=lg(x) ② ,由 ①、②得x>0时，f(x)=-lg(x) ③
即f(x)=lg(-x) x<0; f(x)=-lg(x) x>0.
2.设x1、 x2为（0,+∞)上的任意两点，且0<x1<x2,即X2-X1>0
则有f(x2)-f(x1)=-lg(x2)-(-lg(x1)) =lg(x1/x2)<lg1=0，即f(x2)-f(x1)<0
所以有f(x)在（0,+∞）上单调递减