Question

初二数学几何题三角形ABC中，角B=60度，三角形ABC的角平分线AD CE相交于点O,求证AE+CD=AC

Answer 1

以下是全部答案，绝对完整，我检查过了（也有可能有小错，毕竟一切皆有可能）。

1、作线段bm。因为三角形abc是等腰，m又是ac中点，所以bm是高（三线合一，指等腰三角形底边上的高和中线和角平分线重合。）。因为∠b是90度，所以∠c是45度，因为∠cmb是90度，所以∠mbc是45度，所以bm＝cm而且∠abm＝45度，因为∠cme＋∠emb＝90度，而且∠emb＋∠bmd＝90度，所以∠bmd＝∠cme。因为∠c＝∠abm＝45度，所以三角形bdm和三角形cem全等。所以me＝md，所以三角形dem是等腰直角三角形。

2、（1）因为de是ab上的高，而且de又是ab上中线，所以ad=bd，de是公共边，∠ade=∠bde＝90度，所以三角形ade和三角形bde全等，所以ae=be
（2）因为∠ace=∠ade＝90度，ce=ed，ae是公共边，所以三角形ace和三角形aed全等，所以∠cae＝∠dae。因为三角形ade和三角形bde全等，所以∠ead＝∠ebd，所以∠ebd＝∠cae＝∠ead。因为三角形内角和是180度，且∠c＝90度，所以∠b＝30度，∠cab＝60度，所以∠b＝1/2∠cab

3、条件错了，要改。改成三角形abc是等边三角形。
（1）已知ab＝ac，所以∠cba＝∠acb。作线段df，f在线段bc上，且df‖ab。因为df‖ab，所以∠abc＝∠dfc。因为∠abc＝∠acb，所以∠dfc＝∠acb，所以df=cd。因为be＝cd,所以df=be。因为df‖ab，所以∠fde＝∠deb。因为∠fpd＝∠bpe，所以三角形dfp和三角形bpe全等，所以dp=ep。
（2）因为d是ac中点，且df‖ab，所以f是bc中点（这是根据“以三角形两线段的中点为端点的线段平行于三角形第三边”所得出的结论。不知道你学过没。利用相似三角形的定例也可证明，过程是这样：因为df‖ab，所以三角形abc相似于三角形cdf，所以ac/dc＝bc/fc。因为ac/dc＝2，所以bc/fc＝2，所以fc＝1/2bc，所以f是bc中点。）因为三角形dfp和三角形bpe全等，所以fp＝pb。因为fp＋pb＝fb且fb＝1/2bc＝1/2a，所以bp＝1/4a。

4、将线段ba往e延长。设射线ba上有一点d，使ac＝ad。连接dp。因为ap是角平分线，所以∠dap＝∠cap。因为ap是公共边且ac=ad，所以三角形adp和三角形acp全等。所以ab＋ac＝ab＋ad＝bd，bp＋pc＝bp＋pd。因为三角形任意两边之和大于第三边，所以在三角形bdp中，pd＋bp>bd，所以ab＋ac<bp＋pc，所以ab＋ac＋bc<bp＋pc＋bc，所以三角形abc周长小于三角形bpc周长。

5、因为∠a＝60度，∠b+∠c＝120度且bo、co分别平分∠abc和∠acb，∠boc＝180度－1/2（∠b+∠c）＝120度，所以∠fob＝∠coe＝60度。作线段od，使得d在bc上，且∠bod＝60度。则因为bo是平分线，所以∠abe＝∠cbe，因为∠bod＝∠fob＝60度，且bo是公共边，所以三角形fob和三角形bod全等，所以fo＝do。因为∠boc是120度，且∠bod＝60度，所以∠cod＝60度，同理三角形coe和三角形cod全等，所以eo＝do。所以fo＝eo。

Answer 2

同二楼！
在AC上取点F，使得AE=AF.连接OF。
由角平分线性质和SAS定理得出△AFO全等于△AEO，得出AE=AF,∠AOF=∠AOE=∠COD（对顶角）；
而∠COD=∠A/2+∠C/2=(180-∠B)/2=60，得出∠AOF=∠AOE=∠COD=60=∠COF（平角定义）；
根据∠C的角平分线性质和ASA定理得出△CFO全等于△CDO，得出CF=CD；
故AE+CD=AF+CF=AC

Answer 3

根据△ABC中，∠B=60°，所以∠BAC+∠BCA=120度．因为AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC=120°，∠AOE=60度．在AC上截取AF=AE，连接OF，易证△AOE≌△AOF，∠AOE=∠AOF=60°，可证△COD≌△COF，则CD=CF．因为AF=AE，所以AC=AF+CF=AE+CD，即AE+CD=AC．

Answer 4

在AC上取点F，使得AE=AF.连接of。可以证明三角形AEO和三角形AOF全等。从而角AEO和角AFO相等。利用外角可以得到foc等于六十度，而由于角AOC等于120度（利用平分角），所以角DOC也等于六十度，从而三角形FOC全等于DOC所以DC=CF.所以ae+cd=af+cf=ac.(不知道讲清楚没？)

Answer 5

连接BO，延长交AC于M
因AD，CE为角平分线
三角形AEO全等于AMO
COD全等于CMO
AE=AM
CD=CM
AE+CD=AM+CM=AC