Question

高中导数题目

已知f(x)=xsinx,则f(-4),f(4派/3),f(-5派/4)的大小关系为

Answer 1

易证f(x)是偶函数
则有f(-4)=f(4),f(-5π/4)=f(5π/4）
故只需比较f(4),f(4π/3),f(5π/4）大小关系
这里4，4π/3，5π/4都在区间(π，3π/2)
又因导函数f'(x)=sinx+xcosx<0在(π，3π/2)恒成立
故f(x)在(π，3π/2)为减函数
因5π/4<4<4π/3
所以f(5π/4)>f(4)>f(4π/3）
即f(-5π/4)>f(-4)>f(4π/3）

Answer 2

f(4派/3)>f(-4)>f(-5派/4)

Answer 3

设函数G（x）=xf(x)，现在要求G(x)>0的解。很明显，对G（x）求导，得到G(x)的单调区间，极值点等信息，就能判断出G(x)到底在哪段区间上大于0了。

解：
G'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)
所以G'(x)在x小于0时是小于0的，那么G(x)在x<0时递减。
又发现G(-4)=-4*f（-4）=0
所以G(x)在（负无穷，-4)上大于0，在（-4，0）小于0。

又由于f(x)是偶函数，那么G(x)=xf(x)是奇函数，所以G(0)=0.且G(x)在正半轴上的特性可以由负半轴得到。

综上：
本题解集为：
（负无穷，-4）并上（0，4）

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说实话，这道题放在高中数学题里不太合适，这是典型的大学出题思路。

高中生很难想到f(x)+xf'(x)其实就是xf(x)的导函数，高中生拿到这个题目，通常会去解f(x)+xf'(x)<0这个不等式，试图将题目给出的条件进行化简，而没有把这个式子看成一个整体的。

当然这也不能怪高中生，因为高中的解题思想确实就是“先将条件化简，得到题目所给的最本质的信息，再用它来解题。”

但是大学数学的出题思路就截然不同，有点跟本题类似。给出一个奇怪的式子，貌似无从下手，但就要你去尝试，那个式子到底跟要证明的结论有什么关系。

做多了大学数学，就会对某些式子有“条件反射”了。
比如：
f(x)+xf'(x)其实是xf(x)的导数
(e^x)[f(x)+f'(x)]其实就是(e^x)f(x)的导数
f'(x)/f(x)其实就是ln[f(x)]的导数
。。。