Question

已知定义在R上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的X,Y属于R，有F(X+Y)=F(X)+F(y),当X>0时，F（X）<0.

求f（0）的值；
（2）讨论f（x）的奇偶性和单调性
（3）当x>0时，对于f（x）总有f（1-m）+f（1-㎡）<0，求m的取值范围

Answer 1

(1)
令x=0, y=0代入F(X+Y)=F(X)+F(y)
得到
F(0) = 2F(0)
∴F(0) = 0
(2)
令y=-x,代入F(X+Y)=F(X)+F(y)
得到
F(0) = F(x) + F(-x) =0
所以有
F(x) = -F(-x)
又有
F(0) = 0
所以F(x)为奇函数

(3)
因为当X>0时，F（X）<0
所以f（1-m）+f（1-㎡）<0 只要满足 1-m 与 1-㎡ 在定义域内即可满足条件
所以有
1-m >0 且 1-㎡ >0
解得
m ∈ (-1,1)