Question

一个“很难”的高中数学题---高手进

1、设集合M = { a︱a = b^2 – c^2，b，c∈Z}，试问：
（1）8，9，10是否属于M？
第（1）问，我想知道，如果刚给你这个题，应该从哪个方面入手来解，我有点晕。不知道从何入手？我主要想知道解题的思路，别的不需要

Answer 1

a= b^2 – c^2=(b+c)(b-c)
然后把8分解成两个数相乘8=2*4
所以可以假设b+c=4 b-c=2 解得b=3 c=1 所以8∈M

9可以分解成3*3
假设b+c=3 b-c=3 解得b=3 c=0 所以9∈M

10可以分解成2*5 or 1*10
然后假设……然后解得不是整数
其实你想嚄 b c均为整数 若bc同奇or同偶 然后和差均为偶数 若一奇一偶 则和差均为奇数 所以若你分解出来只能是一奇一偶相乘 那就显然不成了 不用假设了
所以10∉M

默默再答一次…………

Answer 2

a=(b+c)(b-c)
看看给的数能不能表示成这样的两个数的积。
8=4*2=(3+1)(3-1)
9=9*1=(5+4)(5-4)
10=10*1=5*2都不行，因为两个因子的和与差都不是偶数。

Answer 3

从单调性入手，由特殊推一般，由于都带平方了，b，c∈Z,故实际上只需考虑N(非负整数)，1²-0²=1，2²-1²=3，3²-2²=5,3²-1²=8,4²-3²=7，5²-4²=9,6²-5²=11，以后想肯定（n+1）²-n²最小，但当n=6时已经是11了，以后越来越大，后面就不用考虑了，一定都比11大，算了算前几个套入验证就可以。

Answer 4

直接代入就好了,比如8的时候,b=3,c=1. 9的时候b=3,c=0, 10的时候b=3,c=-1,所以全是, 别想的太难,这样的题目代入法是最好的方法.

Answer 5

首先，看清a = b^2 – c^2是不是和勾股定理很相似.

Answer 6

这道题相当于分解因式，根据题意，有平方差公式可得a=(b-c)(b+c),，据此，就可以找8.9.10的约数，Z是全体整数集，故（b-c）,(b+c)要为8或9或10的约数，且为整数。