Question

一个超难的高中数学题，求解答

△ABC内一点P，用向量求PA²+PB²+PC²的最小值

Answer 1

在平面直角坐标系中设三点A(a,b),B(c,d),C(e,f),P为三角形内一点(x,y)
则根据平面上两点距离公式
PA^2=(x-a)^2+(y-b)^2
PB^2=(x-c)^2+(y-d)^2
PC^2=(x-e)^2+(y-f)^2
PA^2+PB^2+PC^2=(x-a)^2+(y-b)^2+(x-c)^2+(y-d)^2+(x-e)^2+(y-f)^2
=(x^2-2ax+a^2)+(y^2-2by+y^2)+(x^2-2cx+c^2)+(y^2-2dy+y^2)+(x^2-2ex+x^2)+(y^2-2f(x)+f^2)
=[3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2]+[3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2]
因为a,b,c,d,e,f为六个互不关联的取值
所以仅当上边两个中括号内均取最小值时，PA^2+PB^2+PC^2有最小值
令f(x)=3x^2-2(a+c+e)x+a^2+c^2+e^2
f'(x)=6x-2(a+c+e)
令f'(x)=0得x=(a+c+e)/3
令g(y)=3y^2-2(b+d+f)y+b^2+d^2+f^2
g'(y)=6y-2(b+d+f)
令g'(y)=0得y=(b+d+f)/3
所以P点的坐标为P((a+c+e)/3,(b+d+f)/3)
下面证明P是重心
设重心为O，则O分有向线段CD的比例为2，由定比分点公式重心O的横坐标为[e+2*(a+c)/2]/(1+2)=(a+c+e)/3,同理纵坐标为(b+d+f)/3。
所以P与O重合，即P为重心

Answer 2

解：设三角形在平面直角坐标系中，A（a，a1）；B（b,b1); C(c,c1)；P（x，y）
则PA²+PB²+PC²=(x-a)²+(y-a1)²+(x-b)²+(y-b1)²+(x-c)²+(y-c1)²
=3x²-2(a+b+c)x+a²+b²+c²+3y²-2(a1+b1+c1)x+a1²+b1²+c1²
=3[x-(a+b+c)/3]²-3[(a+b+c)/3]²+a²+b²+c²+3[y-(a1+b1+c1)/3]²-3[(a1+b1+c1)/3]²+a1²+b1²+c1²
所以当X=(a+b+c)/3且Y=（a1+b1+c1)/3时，使得AP²+BP²+CP²最小，
此时，点p为 △ABC的重心。

Answer 3

因为 PA²+PB²+PC² =GA^2+GB^2+GC^2+3GP^2
当P为重心时，GP=0，
PA²+PB²+PC²最小
且 PA²+PB²+PC²=GA^2+GB^2+GC^2