Question

如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于点B、C,已知A点坐标为（0,3）

2010山东济宁最后一大题，谁解释下最后点P到AC的距离怎么算。

Answer 1

解：（1）设抛物线为y=a（x-4）^2-1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）^2-1，a=1/4；
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当1/4(x-4)^2=0时，x1=2，x2=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=√(2^2+3^2)= √13
BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BCE，
∴AB/BC=OB/CE ，即√13/4=2/CE ，解得CE= 8√13/13，
∵ 8√13/13＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为（m，1/4m^2-2m+3）
则Q点的坐标为（m，-1/2m+3）
∴PQ=-1/2m+3-（1/4m^2-2m+3）=-1/4m^2+3/2m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×（-1/4m^2+3/2m）×6
=-3/4（m-3）^2+27/4；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为27/4；
此时，P点的坐标为（3，-3/4）

Answer 2

（解：（1）设抛物线为y=a（x-4）^2-1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）^2-1，a=1/4；
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当1/4(x-4)^2=0时，x1=2，x2=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=√(2^2+3^2)= √13
BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BCE，
∴AB/BC=OB/CE ，即√13/4=2/CE ，解得CE= 8√13/13，
∵ 8√13/13＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为（m，1/4m^2-2m+3）
则Q点的坐标为（m，-1/2m+3）
∴PQ=-1/2m+3-（1/4m^2-2m+3）=-1/4m^2+3/2m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×（-1/4m^2+3/2m）×6
=-3/4（m-3）^2+27/4；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为27/4；解：（1）设抛物线为y=a（x-4）^2-1，
∵抛物线经过点A（0，3），
∴3=a（0-4）^2-1，a=1/4；
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3

（2）相交．
证明：连接CE，则CE⊥BD，
当1/4(x-4)^2=0时，x1=2，x2=6．
A（0，3），B（2，0），C（6，0），
对称轴x=4，
∴OB=2，AB=√(2^2+3^2)= √13
BC=4，
∵AB⊥BD，
∴∠OAB+∠OBA=90°，∠OBA+∠EBC=90°，
∴△AOB∽△BCE，
∴AB/BC=OB/CE ，即√13/4=2/CE ，解得CE= 8√13/13，
∵ 8√13/13＞2，
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交

（3）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为（m，1/4m^2-2m+3）
则Q点的坐标为（m，-1/2m+3）
∴PQ=-1/2m+3-（1/4m^2-2m+3）=-1/4m^2+3/2m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×（-1/4m^2+3/2m）×6
=-3/4（m-3）^2+27/4；
∴当m=3时，△PAC的面积最大为27/4.此时，P点的坐标为（3，-3/4）
此时，P点的坐标为（3，-3/4）

Answer 3

可设抛物线为 y+1=a(x-4)²
将A带入得a=¼,所以B（2，0）、C（6，0）
过A、C的直线为：y= -½x+3 即x+2y-6=0
又P(4，-7/8)
所以P到直线AC的距离为（4-31/4）/√5=3√5 / 4

Answer 4

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