Question

【求解】2011重庆数学高考的一道选择题和一道填空题

（10）设m，k为整数，方程 在区间（0,1）内有两个不同的根，则m+k的最小值为
（A）-8 （B）8
（C）12 （D）13

3楼

（15）设圆C位于抛物线y²=2x与直线x=3所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径的最大值为_____

谢谢各位高手啊最好有详尽的解答步骤啊~
10提的方程是这样的哈~mx²—kx+2=0

Answer 1

(10)解：设方程的两个根为X1和X2，
已知：0<X1<1，0<X2<1，
所以：0<X1+X2<2，0<X1•X2<1
由韦达定理：X1•X2=2/m，X1+X2=m/k，
则，0<2/m<1 ……①
0<k/m<12……②
解①②得：m>2 ……③
2m>k>0 ……④
已知方程在区间（0,1）内有两个不同的根，所以，根的判别式>0
即，k²-2m>0， ……⑤
解得：k>(2√2)•(√m) ……⑥
由④⑥得：2m>k>(2√2)•(√m)
因为，m，k为整数
由③取， m最小=3
代入⑥得：6>k>(2√2)•(√m)=(2√2)•(√3)≈4.9
取， k最小=5
结论：m+k的最小值=3+5=8
答案（B)
（15）当圆C半径取最大值时，由对称性知，圆心C应在x轴上区间(0,3)内，且圆C与直线x=3相切，
设此时圆心为(a,0)(0<a<3),则圆C方程为(x-a)²+y²=(3-a)²‎,把y²=2x代入其中得，(x-a)²+2x=(3-a)²‎,
x²+2(1-a)x+6a-9=0,圆C与抛物线相切，判别式△=[2(1-a)]²-4(6a-9)=0,(1-a)²-6a+9=0,
a²-8a+10=0,a=(8-2√6)/2=4-√6,圆C半径能取到的最大值为3-a=3-(4-√6)=√6-1

Answer 2

10 D

15 √6－1

追问

我知道答案了啦~要解的过程唉~

Answer 3

第一个没有完整题，建议使用韦达定理。第二个设一个圆，与两个线都相切，算就可以了呀

追问

我都知道要用韦达定理！~第二个也像那么想过，但是做不出来！你帮我算号嘛~

Answer 4

10. K^2-8m>0；..........1
x=0时，方程>0，即2>0，这是恒成立的；.......2
x=1时，方程>0，即m-k>0;.........3
由上可得：K^2-8m>0且m-k>0。再用线性规划（无法作图，高中线性规划不难，应该可以自己画图计算吧~~）算出m+k的最小值为13.