Question

一道初二几何证明题题，我发不上图，但可以根据题意自己画出很简单

△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE为∠ABC的角平分线，BE交线段AC于G,过C作CH⊥BE,交BE于H，延长CH交BA的延长线于F.
(1)求证①BG=CF②BE=2HC
(2)若∠EBC=30°，其它条件不变BG与CH的数量发生怎样变化，请计算说明
（3）在（2)条件下，若将△BCH绕点B逆时针旋转，使CH∥AC,其他条件不变，则BG与HC的数量关系是什么
在线等
E只是∠ABC的平分线，是表示一条射线，基本上在图外
第一问发错了
(1)求证①BG=CF②BG=2HC

Answer 1

证明:1)①∵△ABC为等腰直角三角形
∴AC=AB,，∠BAC=∠FAC=∠90°
∵CH⊥BE
∴∠HCG+∠HGC=90=∠ABG+∠AGB
而∠AGB=∠HGC
∴∠HCG=∠ABG
∴△ACF≌△ABG
∴BG=CF
∵∠CBH=∠ABH,∠CHB=FHB=90
BH=BH
∴△CBH≌△FBH
∴CH=HF
∴BG=CF=2CH

2)BG=2√3/3CH
∵∠EBC=∠EBA=30
∴∠BAC=90-60=30
∠BCH=90-30=60
∴BG=CG
在RT△CHG中，∠HCG=30
CH:CG=√3/2
即BG=CG=2√3/3CH

3)不变。
由题意可知此时BC转到BH位置时，才有CH∥AC

追问

第二问，感觉不太对。
不变的条件应该是等腰直角三角形吧，那就不应该是BG=CG

追答

因为BE为∠ABC的角平分线,∠EBC=30°，
所以△ABC不再是等要直角三角形了。

Answer 2

第一题【1】
BA=CA CAB=CA
角 ABG=角CBG 角BFC+角FCA=角BFC+角FBG 角 AGB+角FBG=角BFC+角FBG
角AGB=角AFC
三角形BAG全等 三角形AFC
所以BG＝CF

Answer 3

我没弄明白，点E在哪呀？点E谁和谁的交点？

Answer 4

点ABC和谁相交

Answer 5

（1）①∵∠AGB=∠HGC ∠BAC=∠GHC=90°
∴∠ABG=∠ACF
且AB=AC
∴△BAG≌△ACF
∴BG=CF
②易证△CBH≌△FBH
∴CH=FH
∴BG=CF=2CH
(2) 过G作GM⊥BC,交BC于M
设BM=X
在△BGM中 ∵∠GBM=30°
∴BG=2X, BM=√3X
∵∠GCM=45° ∠GMC=90°
∴GM=MC=X
∴BC=BM+CM=(√3+1)X
在△BHC中 ∵∠EBC=30°
∴HC=1/2BC=(√3+1/2)X
∴BG=2(√3+1)HC
(3)∵∠BAG=90°∠ABG=30°
当设AG=y时
∴BG=2AG=2y AB=√3y
由旋转得BC=BC
∵AB=AC ∠BAC=90°
∴BC=√6y
∵CH∥AC
∴AG:HC=BG:BC
∴BG=2√6/3HC