Question

判断一个正项级数的敛散性

∑{n^[(n+1)/n]}^-1,n从1到无穷大。或许我用文字表达这个式子会好一点。就是n的(n+1)/n次方分之一，求详解
还有一题，∑(n^-2)*㏑n，n从1到无穷大，还是判断敛散性

Answer 1

与调合级数比较，lim n^(-1-1/n) / n^(-1) =lim 1/n^(1/n) = 1，由比例判别法知两者同敛散，故原级数发散。
上式最后一步是常用极限n开n次方=1，证明可假设此式=1+a，即n=(1+a)^n，二项展开并放缩即可证得a=0。

追问

后面那个证明，能证明得详细点吗？因为那个极限我们还没教

追答

上午是用手机上的WAP百度,所以看不到你的追问,也无法修改答案,还望见谅,呵呵.
令lim n^(1/n)=1+a,即n=(1+a)^n=1+an+a^2 n(n-1)/2+...+a^n(二项式定理)>1+a^2 n(n-1)/2(仅取1,3项),变形可得a^2<2/(n-1).而2/(n-1)的极限是0,故a=0(两边夹).

再看你追问的问题,这个可用积分比较法.令f(x)=ln x/x^2,其从1到无穷的广义积分为(-ln x - 1)/x|_2^{+\infinity}存在并有限,故级数收敛.