Question

高中数学y=(x^2+1)^1/2+[(2-x)^2+4]^1/2 求值域

Answer 1

方法一：
∵y＝√（x^2＋1）＋√［（2－x）^2＋4］
＝√［（x－0）^2＋（2－1）^2］＋√［（x－2）^2＋（2－0）^2］
∴问题就转化成，在直线y＝2上求一点P，使P到点（0，1）和点（2，0）的距离之和有最大值或最小值。
显然最大值是没有的，只有最小值。
容易求出点（0，1）关于y＝2的对称点是（0，3）。连结点（0，3）与点（2，0）交y＝2于点P，此时P到点（0，1）和点（2，0）的距离之和最小。下面给出证明：
由对称图形的性质可知：P到点（0，3）和点（0，1）的距离相等，
∴P到（0，3）和（2，0）的距离之和就是P到（0，1）和（2，0）的距离之和。
且距离之和为点（0，3）和点（2，0）的距离。
当P为y＝2上的另一点时，P、（0，3）、（2，0）就构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边可知：此时的P到（0，3）、（2，0）的距离之和大于（0，3）、（2，0）间的距离。
∴（0，3）、（2，0）连线与y＝2的交点P是使P到（0，1）、（2，0）的距离之和为最小值的点。
而（0，3）、（2，0）间的距离＝√［（0－2）^2＋（3－0）^2］＝√13。
∴P到（0，1）、（2，0）的距离之和为最小值是√13。
即原函数的值域是［√13，＋∞）。

方法二：对y求导数，得：
y′＝x/√（x^2＋1）＋（x－2）/√［（x－2）^2＋4］
令y′＝0，得：x/√（x^2＋1）＋（x－2）/√［（x－2）^2＋4］＝0，
去分母，得：x√［（x－2）^2＋4］＝（x－2）√（x^2＋1）
两边平方，得：x^2［（x－2）^2＋4］＝（x－2）^2（x^2＋1），∴4x^2＝（x－2）^2
得：2x＝x－2，或2x＝2－x，进而得：x＝－2，或x＝2/3。
经检验，x＝－2不能使y′＝0，∴要舍去它，从而得：x＝2/3。
容易验得：当x＜2/3时，y′＜0，当x＞2/3时，y′＞0，∴y在x＝2/3时有最小值。
将x＝2/3代入原函数式中，求得此时y＝√13。
∴原函数的值域是［√13，＋∞）。

Answer 2

求导，判断增减性，求最小值和最大值，即可得值域

追问

这个带根号 求导数很复杂 望妙解

追答

求导很容易啊，这种方法比较通用

追问

能说下过程吗 我真的不觉得容易 谢谢

Answer 3

大于等于3

追问

这位哥们你可能看错题了

追答

哪错了

追问

第一个根号下是 X^2+1
第二个根号下是 (2-X)^2+4
大于等于三的话 难道X 和 2-X同时取零 不现实吧

Answer 4

求导倒不必，用必修一的知识可以解决。
y=【（x-0）^2+（2-1）^2】^1/2+【(x-2)^2+（2-0）^2】^1/2
补充：根号【（X1-X2）平方+（Y1-Y2）平方】就是（X1，Y1）到（X2，Y2）距离
那么，原始就是（X，2）到（0，1）距离加上（X，2）到（2，0）距离。
画图……接下来会了吧？