Question

设数列{an}和{bn}满足:a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,数列{an+1-an}是等差数列···

设数列{an}和{bn}满足:a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,数列{an+1-an}是等差数列,Sn为数列{bn}的前n项和,且Sn=2n-bn+10,(1)分别求{an}{bn}的通项公式(2)是否存在k∈N*,使ak-bk∈(0,1/2)?若存在，求出k；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）数列{an+1-an}是等差数列
a2-a1=4-6=-2 a3-a2=3-4=-1
公差=(a3-a2)-(a2-a1)=-1+2=1
则a(n+1)-an=-2+(n-1)*1=n-3
an-a(n-1)=n-4
.....
a3-a2=3-4=-1
a2-a1=2-4=-2
叠加an-a1=(-2+n-4)*(n-1)/2=(1/2)n^2-7n/2+3
通项an=(1/2)(n^2-7n+18)
Sn=2n-bn+10 S(n-1)=2n-2-b(n-1)+10
bn=-bn+b(n-1)+2 2bn=b(n-1)+2
2(bn-2)=b(n-1)-2
{bn-2}是公比为(1/2)等比数列
则bn-2=(b1-2)*(1/2)^(n-1)=4*(1/2)^(n-1)
通项bn=(1/2)^(n-3)+2
（2） 设存在k∈N*,使ak-bk∈(0,1/2)
则ak-bk=(1/2)(k^2-7k+18)-(1/2)^(k-3)-2
=(1/2)(k^2-7k+14)-(1/2)^(k-3)
=(1/2)[(k^2-7k+14)-(1/2)^(k-2)]
设f(x)=k^2-7k+14=(k-7/2)^2+7/4
为开口向上的抛物线，最小值在顶点处f(7/2)=7/4
由于k取自然数，则f(3)=f(4)=2为最小
设g(x)=(1/2)^(k-2)
g'(x)=-(1/2)^(k-1)ln2<0单减
最大值=g(1)=2
(1/2)[f(1)-g(1)]=(1/2)*(8-2)=3超出范围
(1/2)[f(3)-g(3)]=(1/2)*(2-1/2]=3/4超出范围
综上：不存在k∈N*，满足ak-bk∈(0,1/2)。

Answer 2

设数列{a(n+1)-an}的公差为d
a(n+1)-an=an-a(n-1)+d
n=2时,a3-a2=a2-a1+d,得d=1
a(n+1)-an的前n项为-2,-1,0,1,2,......,n-3
a(n+1)-an=n-3
a(n+1)=an+n-3
an=a(n-1)+(n-4)=a(n-2)+(n-5)+(n-4)=a(n-3)+(n-6)+(n-5)+(n-4)=......=a3+1+2+...+(n-4)
=a3+(n-3)(n-4)/2=3+(n-3)(n-4)/2
Sn=2n-bn+10,S(n-1)=2(n-1)-b(n-1)+10
bn=Sn-S(n-1)=2-bn+b(n-1)
bn=1+b(n-1)/2=1+1/2+b(n-2)/2^2=1+1/2+(1/2)^2+b(n-3)/2^3=......
=1+1/2+(1/2)^3+......(1/2)^(n-4)+b3/2^(n-3)=2[1-(1/2)^(n-3)]+3/2^(n-3)=2+(1/2)^(n-3)
an-bn=3+(n-3)(n-4)/2-2-(1/2)^(n-3)=1+(n-3)(n-4)/2-(1/2)^(n-3)
ak-bk<1/2
k<1/[2+(n-3)(n-4)-(1/2)^(n-4)]
当n趋向无穷大,上式右边趋向0
所以k不存在。

Answer 3

(1)
求{an}

数列{a(n+1)-an}的等差为(a3-a2)-(a2-a1)=1，
该数列的首项为a2-a1=-2
该数列的通项为a(n+1)-an==-2+(n-1)=n-3

∵
等差数列{a(n+1)-an}前n项的和值为：n(-2+(n-3))/2=n(n-5)/2
而数列{a(n+1)-an}前n项的和值又可表示为：
(-a1+a2)+(-a2+a3)+(-a3+a4)+......+[-an+a(n+1)]=-a1+a(n+1)=-6+a(n+1)
∴
n(n-5)/2=-6+a(n+1)；
a(n+1)=n(n-5)/2+6
从而得到：
an=(n-1)(n-6)/2+6
---------------------------
求{bn}
Sn=2n-bn+10
S(n-1)=2(n-1)-b(n-1)+10
bn=Sn-S(n-1)=2-bn+b(n-1)
得到：
bn=1+1/b(n-1);
则：
b2=1+6/2;
b3=1+1/2+6/2^2
b4=1+1/2+1/4+6/2^3
......
bn=[1+1/2+1/4+...+1/2^(n-2)]+6/2^(n-1)
研究[1+1/2+1/4+...+1/2^(n-2)]发现：
上式=1+(1-1/2)+(1/2-1/4)+(1/4-1/8)+...+1/2^(n-3)-1/2^(n-2)
=2-1/2^(n-2)

所以bn=[2-1/2^(n-2)]+6/2^(n-1)
得到：
bn=2+1/2^(n-3)

-----------------
(2)题：
研究：
0≤ak-bk=[(k-1)(k-6)/2+6]-[2+1/2^(k-3)]≤1/2
是否存在

则等同研究：
1/2^(k-4)-8≤(k-1)(k-6)≤1/2^(k-4)-7
得到：k=1，2,3,4时上述不等式成立。

Answer 4

从来不回答无分的问题。。