Question

已知数列{an}是等差数列，且满足：a1+a2+a3=6,a5=5,数列｛bn｝满足bn-b(n-1)=a(n-1)(n≥2，n∈N*),b1=1

(1)求an和bn
(2)记数列cn=1/(bn+2n)(n∈N*),若｛cn}的前n项和为Tn，求证Tn∈[1/3,1)

Answer 1

a1+a2+a3=6，a2=6/3=2，
a5=5，公比d=(5-3)/3=1，a1=1
an=n （n为正整数）
bn-b(n-1)=a(n-1)=n-1
b(n-1)-b(n-2)=n-2
...
b2-b1=1
b1=1
错位相减：bn=1+1+2+3+... ...+(n-1)=1+(n-1)n/2 （n为正整数）

cn=1/(bn+2n)=1/[1+(n-1)n/2 +2n]=2/(n^2+3n+2)=2[1/(n+1)-1/(n+2)]
Tn=T1+T2+T3+……+Tn
=2[1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5……+1/(n+1)-1/(n+2)]
=2[1/2-1/(n+2)]
=1-2/(n+1)
n=1时，T1最小=1/3；
n=正无穷，Tn最大=1
∴Tn∈[1/3,1)

Answer 2

（1）由题意可得，a1+a2+a3=a1+(a1+d)+(a1+2d)=3a1+3d=6，a5=a1+4d=5，所以解得a1=1，d=1，所以an=a1+(n-1)d=n。
因为bn-b(n-1)=a(n-1)=n-1，所以b(n-1)-b(n-2)=n-2，b(n-2)-b(n-3)=n-3，……，b2-b1=1，将上述式子相加，得bn-b1=1+2+……+(n-2)+(n-1)，所以bn=b1+n(n-1)/2=。
（2）因为cn=1/(bn+2n)，所以cn=1/(n^2/2-n/2+1+2n)=2/((n+1)(n+2))=2(1/(n+1)-1/(n+2))，所以Tn=c1+c2+……+cn=2(1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/(n+1)-1/(n+2))=1-2/(n+2)，因为n∈N*，所以Tn∈[1/3,1)