Question

设b＞0，数列{an}满足：a1=b，an=nban-1/(an-1+n-1)(n≥2). ⑴求数列{an}的通项公式 ⑵证明：对于一切正整

设b＞0，数列{an}满足：a1=b，an=nban-1/(an-1+n-1)(n≥2).

⑴求数列{an}的通项公式 ⑵证明：对于一切正整数n，2an≤bn+1+1

Answer 1

第一小题条件等式两边取倒数，可化为n/an=[(n-1)/an-1 ]+1/b,构造等差数列，第（2）问符号看不明白，是不是又有一个新数列{bn}？

追问

b的n+1次方

追答

刚才变形时有点差误，取倒数后应该是n/an=1/b*(n-1)/an-1+1/b,设n/an=cn，得到cn=1/b*cn-1+1/b,这是一个一阶线性递推数列，很易求出通项，（2）中不等式可利用做差比较，放缩法也可以。