Question

高一数学一道向量题。。急 在线等 求高手。。

点O为三角形ABC所在平面内一点，满足：【一下字母全部表示向量】（0A+OB）*BA=(OB+OC)*CB+(OC+OA)*AC。则点O是三角形ABC的（？）A外心B内心C垂心D重心。。急急急。。要步骤说明 谢谢了。

Answer 1

(OA+OB）*BA=(OB+OC)*CB=(OC+OA)*AC(你打的“+”，我疑为“=”，今改之）
(OA+OB）*(OA-OB)=(OB+OC)*(OB-OC)=(OC+OA)*(OC-OA)
OA^2-OB^2=OB^2-OC^2=OC^2-OA^2
OA=OB=OC
所以，O为三角形的外心（外接圆的圆心）

Answer 2

设向量AB=向量a,向量AD=向量b
因为ADCB是正方形
所以|
向量a|=|向量b|
向量a*向量b=0
向量AC=向量a+向量b
因为BE‖AC
设向量BE=K*(向量a+向量b)
向量CE=向量CB+向量BE=K*向量a+(K-1)向量b
因为
|CE|=|AC|
所以
(向量a+向量b)^2=(K*向量a+(K-1)向量b)^2
因为
|
向量a|=|向量b|
向量a*向量b=0
代入化简,
2K^2-2k-1=0
K=(1+根号3)/2或(1-根号3)/2
因为EC的延长线交BA的延长线于F
所以
K=(1+根号3)/2
向量CE=(1+根号3)/2向量a+(根号3-1)/2向量b
向量BE=(1+根号3)/2(向量a+向量b)
向量AE=向量AB+向量BE=(3+根号3)/2向量a+(1+根号3)/2向量b
设向量FA=L*向量a
向量FC=向量FB+向量BC
向量FC=(L+1)向量a+向量b
因为向量FC与向量CE共线
所以
(L+1)/((1+根号3)/2)=1/((根号3-1)/2)
L=根号3+1
向量FA=(根号3+1)向量a
因为
|
向量a|=|向量b|
向量a*向量b=0
|向量FA|^2-|向量AE|^2
=(4+2根号3)|向量a|^2-(4+2根号3)|向量a|^2=0
所以|向量FA|=|向量AE|
AF=AE