Question

函数f(x)=1/3ax^3+1/2ax^2-2ax+2a+1的图像经过四个象限，则实数a的取值范围是

Answer 1

首先a≠0，否则f(x)=1,其图像只经过一二象限.
f´(x)=ax²+ax-2a=a(x²+x-2)=a(x+2)(x-1),f"(x)=2ax+a=a(2x+1),
分别令f´(x)=0，f"(x)=0得两个驻点x1=-2，x2=1，一个拐点x0=-1/2，
f"(x1)=-3a，f"(x2)=3a，f(x0)=37a/12+1,f(x1)=16a/3+1,f(x2)=5a/6+1.

若a＞0，
f"(x1)＜0，f"(x2)＞0，
f(x1)为极大值，f(x2)为极小值，
显然，此时f(x1)=16a/3+1＞0，
所以，只要f(x2)=5a/6+1＜0,即a＜-6/5，就能保证图像过第四象限，
但这与a＞0矛盾，所以无解.

若a＜0，
f"(x1)＞0，f"(x2)＜0，
f(x1)为极小值，f(x2)为极大值，
只要f(x1)=16a/3+1＜0,即a＜-3/16，
且f(x2)=5a/6+1＞0，即a＞-6/5，就能保证图像过第四象限，
所以-6/5＜a＜-3/16.

综上所述，a∈(-6/5,-3/16).

追问

。。。。。。。智商太低。。。。。看不懂

追答

先对函数求导，有f'(x)=ax^2+ax-2a=a(x+2)(x-1),
则在x=1，-2时，函数取到极值，
若a>0,则图像必过一三象限，x=-2时为极大值，x=1为极小值，
要满足题意，则f(-2)>0且f(1)0,得-6/5<a<-3/16,
又满足前提a<0,
所以综合最后结果为-6/5<a<-3/16