Question

帮忙解高中抛物线习题一道

已知A，B两点在抛物线y^2=4x上，A在x轴上方，B在X轴下方，且A到焦点F1的距离为4，B到焦点F1的距离为【8+4倍根号3】，求证AF1⊥BF1

要有过程，谢了

Answer 1

关键是得到A,B两点的坐标，就可以利用斜率来证了
AF＝xA+1=4，xA＝3，故A（3，2√3）
BF＝xB＋1＝8＋4√3，故B（7＋4√3，－4－2√3）
F（1，0）
故KAF＝－√3
KBF＝4+2√3/6＋4√3＝1/√3
∴KAF·KBF＝－1
故AF⊥BF
如有不懂，继续问。

本题有三个注意事项：
1.先用抛物线的定义，把抛物线上一点到焦点的距离转化为这一点到准线的距离：抛物线y^2=2px上一点到焦点F的距离为：x0＋p/2快速算出横坐标！
2.算B的坐标时，y^2＝4（7＋4√3）＝4（7＋2√12）＝4（2＋√3）^2
先配方，才能开方。
3.算KBF的时候，先分子分母约去2，然后注意对分母提一个√3，直接就出来了
所以本题思路简单，但要注意运算

追问

我的问题就在求A，B两点坐标，我知道用斜率或向量来证明垂直，此题求坐标才是难点！！

追答

先用抛物线的定义，把抛物线上一点到焦点的距离转化为这一点到准线的距离：
比如点A到焦点F的距离，就是点A到它的准线x=-1的距离，设点A的横坐标为xA，则点A到准线
x=-1的距离是 xA－（－1）＝xA＋1＝4
故xA＝3
同理可以求B的横坐标。
关键是你不懂得运用抛物线的定义去求点的坐标，这恰是抛物线问题的最重要的技巧

追问

哦 我明白了 谢啦

Answer 2

遇到这种题不要慌，AF＝xA+1=4，xA＝3，故A（3，2√3）
BF＝xB＋1＝8＋4√3，故B（7＋4√3，－4－2√3）
F（1，0）
故KAF＝－√3
KBF＝4+2√3/6＋4√3＝1/√3
∴KAF·KBF＝－1
故AF⊥BF
如有不懂，继续问。

本题有三个注意事项：
1.先用抛物线的定义，把抛物线上一点到焦点的距离转化为这一点到准线的距离：抛物线y^2=2px上一点到焦点F的距离为：x0＋p/2快速算出横坐标！
2.算B的坐标时，y^2＝4（7＋4√3）＝4（7＋2√12）＝4（2＋√3）^2
先配方，才能开方。
3.算KBF的时候，先分子分母约去2，然后注意对分母提一个√3，直接就出来了
所以本题思路简单，但要注意运算

追问

不要盗取他人的劳动成果哦