Question

设无穷等差数列｛an｝的前n项和为Sn，（1）若首项a1=3/2,公差d=1,求满足Sk²=(Sk)²的正整数k,

（2）求所有的无穷等差数列｛an}，使得对于一切正整数k都有Sk²=（Sk)²成立

Answer 1

an=n+1/2;
Sn=(3/2+n+1/2)*n/2=n²/2+n;
(Sk)²=(k²/2+n)²
Sk²=(k²)²/2+k²
联立后两式 解得k=4

Sk=ka1+(k-1)kd/2
Sk²=k²a1+(k²-1)k²d/2=(Sk)²
联立化简得关于k的方程：
(2d-d²)k²+(2d²-4da1)k+(2-2a1+d)(2a1-d)=0
用求根公式求解。

Answer 2

1)sn=1.5n+1/2(n-1)n=1/2n^2+n
Sk^2=1/2k^4+k^2
(Sk)^2=(1/2k^2+k)^2
1/2k^2+1=(1/2k+1)^2=1/4k^2+k+1
1/4k^2=k k=4
2)sn=na1+1/2n(n-1)d=n(a1+1/2(n-1))d
Sk^2=k^2(a1+1/2(k^2-1)d)
(Sk)^2=k^2(a1+1/2(k-1)d)^2
a1+1/2(k^2-1)d=(a1+1/2(k-1)d)^2
d/2*k^2+a1-d/2=d^2/4*k^2+(ad-d^2/2)*k+a1^2-a1d+d^2/4
d/2=d^2/4
ad-d^2/2=0
a1-d/2=a1^2-a1d+d^2/4
a1=根号2/2 d=根号2
a1=-根号2/2 d=-根号2

Answer 3

sk=a1k+k(k-1)d/2=3k/2+k(k-1)/2=k(k+2)/2
sk^2=k^2(k^2+2)/2=(sk)^2=k^2(k+2)^2/4
2(k^2+2)=k^2+4k+4
k^2=4k
k=4

追问

（2）？

追答

sk=a1k+k(k-1)d/2=k[a1+d(k-1)/2]
sk^2=k^2[a1+d(k^2-1)/2]=(sk)^2=k^2[a1+d(k-1)/2]^2
a1+d(k^2-1)/2=a1^2+a1d(k-1)+d^2(k-1)^2/4
k=1
a1=a1^2, a1=0 or 1
k=2, 3d/2=a1d+d^2/4, d=0 or 6-4a1
a1=0, d=0 or 6
a1=1, d=0 or 2
d=0，为常数序列，a1=0,or 1 都满足。
d=2, a1=1, Sk=k^2, 也满足
d=6,a1=0, an=6(n-1), sn=3(n-1)n, sn^2=3n^2(n-1)^2, s(n^2)=3n^2(n^2-1),两者不等。
因此只有上面三种情况