Question

已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,若a,b∈【-1,1】，a+b≠0，

已知函数f(x)是定义在【-1,1】上的奇函数,若a,b∈【-1,1】，a+b≠0，有f(a)+f(b)/a+b＞0。判断f(x)在【-1，1】上是增函数还是减函数，并证明结论。

Answer 1

解：
任取x1、x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1]
又f(x)是奇函数
∴f(x1)－f(x2)
＝f(x1)＋f(－x2)
＝[f(x1)＋f(－2)]/[x1＋(－x2)] •(x1－x2)
∵[f(x1)＋f(－2)]/[x1＋(－x2)]＞0，x1－x2＜0
∴f(x1)－f(x2)＜0
即f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在[－1，1]上是增函数．

Answer 2

[f(a)+f(b)]/(a+b)＞0,
a+b>0时f(a)+f(b)>0,即a>-b时f(a)>-f(b)=f(-b);
a+b<0时f（a）+f(b)<0即a<-b时,f(a)<-f(b)=f(-b)。
∴f(x)是增函数。

Answer 3

分情况讨论
f(a)+f(b)/a+b=f(a)-f(-b)/a-(-b)>0
当a+b>0时,f(x)是增函数；
当a+b<0时,f(x)是减函数。