高中数学中如何解简单的一元三次方程
别用什么盛金公式那么高深的,请详细讲讲怎么用分解因式。提取公因式等简单方法解3次方程,还有是不是知道一个跟x=a,让方程除以这个式子?...
别用什么盛金公式那么高深的,请详细讲讲怎么用分解因式。提取公因式等简单方法解3次方程,还有是不是知道一个跟x=a,让方程除以这个式子?
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8个回答
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一元三次方程的标准型为aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性,对比之下,盛金公式解题更为直观,效率更高。
1.卡尔丹公式法
(卡尔达诺公式法)
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2; 标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω,
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2;
Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0
令X=Y—b/(3a)代入上式,
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
【卡尔丹判别法】
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根。
2.盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法。
【盛金公式】
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。
重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd,
总判别式:Δ=B^2-4AC。
当A=B=0时,盛金公式①:
X⑴=X⑵=X⑶=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。
当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②:
X⑴=(-b-Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(3a);
X(2,3)=(-2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(6a);
其中Y(1,2)=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1。
当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③:
X⑴=-b/a+K;X⑵=X3=-K/2,
其中K=B/A,(A≠0)。
当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④:
X⑴=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);
X(2,3)=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a);
其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)
【盛金判别法】
①:当A=B=0时,方程有一个三重实根;
②:当Δ=B^2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;
③:当Δ=B^2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
④:当Δ=B^2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。
【盛金定理】
当b=0,c=0时,盛金公式①无意义;当A=0时,盛金公式③无意义;当A≤0时,盛金公式④无意义;当T<-1或T>1时,盛金公式④无意义。
当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值?盛金定理给出如下回答:
盛金定理1:当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0(此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立)。
盛金定理2:当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理3:当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理4:当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
盛金定理5:当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
盛金定理6:当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。
盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。(此时,适用盛金公式④解题)。
盛金定理9:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1<T<1。
显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。
注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时,不一定有A<0。
盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd是最简明的式子,由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2-4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
1.卡尔丹公式法
(卡尔达诺公式法)
特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)
判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3
【卡尔丹公式】
X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3);
X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2; 标准型方程中卡尔丹公式的一个实根
X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω,
其中ω=(-1+i3^(1/2))/2;
Y(1,2)=-(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。
标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0
令X=Y—b/(3a)代入上式,
可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。
【卡尔丹判别法】
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
当Δ=(q/2)^2+(p/3)^3<0时,方程有三个不相等的实根。
2.盛金公式法
三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。范盛金推导出一套直接用a、b、c、d表达的较简明形式的一元三次方程的一般式新求根公式,并建立了新判别法。
【盛金公式】
一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)。
重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd,
总判别式:Δ=B^2-4AC。
当A=B=0时,盛金公式①:
X⑴=X⑵=X⑶=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。
当Δ=B^2-4AC>0时,盛金公式②:
X⑴=(-b-Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(3a);
X(2,3)=(-2b+Y⑴^(1/3)+Y⑵^(1/3))/(6a)±i3^(1/2)(Y⑴^(1/3)-Y⑵^(1/3))/(6a);
其中Y(1,2)=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1。
当Δ=B^2-4AC=0时,盛金公式③:
X⑴=-b/a+K;X⑵=X3=-K/2,
其中K=B/A,(A≠0)。
当Δ=B^2-4AC<0时,盛金公式④:
X⑴=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);
X(2,3)=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a);
其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)
【盛金判别法】
①:当A=B=0时,方程有一个三重实根;
②:当Δ=B^2-4AC>0时,方程有一个实根和一对共轭虚根;
③:当Δ=B^2-4AC=0时,方程有三个实根,其中有一个两重根;
④:当Δ=B^2-4AC<0时,方程有三个不相等的实根。
【盛金定理】
当b=0,c=0时,盛金公式①无意义;当A=0时,盛金公式③无意义;当A≤0时,盛金公式④无意义;当T<-1或T>1时,盛金公式④无意义。
当b=0,c=0时,盛金公式①是否成立?盛金公式③与盛金公式④是否存在A≤0的值?盛金公式④是否存在T<-1或T>1的值?盛金定理给出如下回答:
盛金定理1:当A=B=0时,若b=0,则必定有c=d=0(此时,方程有一个三重实根0,盛金公式①仍成立)。
盛金定理2:当A=B=0时,若b≠0,则必定有c≠0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理3:当A=B=0时,则必定有C=0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理4:当A=0时,若B≠0,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
盛金定理5:当A<0时,则必定有Δ>0(此时,适用盛金公式②解题)。
盛金定理6:当Δ=0时,若B=0,则必定有A=0(此时,适用盛金公式①解题)。
盛金定理7:当Δ=0时,若B≠0,盛金公式③一定不存在A≤0的值(此时,适用盛金公式③解题)。
盛金定理8:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在A≤0的值。(此时,适用盛金公式④解题)。
盛金定理9:当Δ<0时,盛金公式④一定不存在T≤-1或T≥1的值,即T出现的值必定是-1<T<1。
显然,当A≤0时,都有相应的盛金公式解题。
注意:盛金定理逆之不一定成立。如:当Δ>0时,不一定有A<0。
盛金定理表明:盛金公式始终保持有意义。任意实系数的一元三次方程都可以运用盛金公式直观求解。
当Δ=0(d≠0)时,使用卡尔丹公式解题仍存在开立方。与卡尔丹公式相比较,盛金公式的表达形式较简明,使用盛金公式解题较直观、效率较高;盛金判别法判别方程的解较直观。重根判别式A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd是最简明的式子,由A、B、C构成的总判别式Δ=B^2-4AC也是最简明的式子(是非常美妙的式子),其形状与一元二次方程的根的判别式相同;盛金公式②中的式子(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2具有一元二次方程求根公式的形式,这些表达形式体现了数学的有序、对称、和谐与简洁美。
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2011-06-11
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通常就是将式子分解成几个不可约因式的乘积,这里面用到的提取公因式,十字相乘法等等的过程,需要灵活运用的。祝你好运!~~
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其实解一元三次方程没多少实际用处,因为解出来都是数字在开三次方然后通过加减乘除的表达式,还不如计算机来的快。高中数学题目中偶尔也会遇到一元三次方程,一般是有巧办法的,就是根据题意可以领会。如果给了你一个跟,那就很简单了,就用一元三次方程除以x-a,比如说
x3+x-a=0有一个根是1,则将1带入得a=2,然后用x3+x-2除以x-1得到x2+x+2,做除法的时候是先消去高次方
x3+x-a=0有一个根是1,则将1带入得a=2,然后用x3+x-2除以x-1得到x2+x+2,做除法的时候是先消去高次方
追问
x3+x-2除以x-1得到x2+x+2,像这种除是咋除的啊
追答
就像做普通除法一样,先消去高次方,配个x2 就是x2乘以x-1,然后把x3消去 就这样一直消就可以了就像69除以3先消6然后消9,反正就像普通除法一样
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知道一个跟x=a,让方程除以x-a
怎么讲 其实我们也不太会
怎么讲 其实我们也不太会
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高中里面 一般而言 解3次方程都有一个很明显的根的(试验得出···) 剩下两个用楼主说的除法也行 用提取公因式也OK
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