Question

高一数学不等式问题

数列{an}的通项公式为an=n^2-kn，若对于任意的正整数n，an>=a3均成立，则k的取值范围是（ ）

为什么不可以用设F(X)=n^2-kn-9+3n>=o恒成立，那么k^2+36-12n<=0成立的方式去做呢？ 答案是5<=k<=7

Answer 1

看看以下步骤，与你问的有什么不一样：

an=n²-kn
a3=3²-3k
可设F(n)=an-a3=n²-kn-(3²-3k)=n²-kn+3k-9，对任意正整数n，F(n)≥0恒成立
即：F(n)=n²-kn+3k-9=(n-k/2)²-k²/4+3k-9≥0恒成立
即：k²/4-3k+9=(k/2-3)²≤(n-k/2)²恒成立
即：|k/2-3|≤|n-k/2|恒成立
即：|k-6|≤|2n-k|恒成立

若要|k-6|≤|2n-k|恒成立，只要|k-6|小于等于|2n-k|的最小值即可
考虑到n是正整数，则
1、若k<1，则|k-6|>5，而|2n-k|的最小值是|2-k|>1，无法保证|k-6|≤|2n-k|恒成立
2、若k≥1，则|2n-k|的最小值介于0到1之间，则|k-6|≤1，得到5≤k≤7
注意到若5<k<7，|2n-k|在n=3时有最小值|6-k|，而|6-k|=|k-6|，即|k-6|≤|2n-k|恒成立
若k=5，|2n-k|在n=2或n=3时有最小值1，而1=|k-6|，即|k-6|≤|2n-k|恒成立
若k=7，|2n-k|在n=3或n=4时有最小值1，而1=|k-6|，即|k-6|≤|2n-k|恒成立

综合以上分析，可知k的取值范围是5≤k≤7

Answer 2

这一题其实很简单的，把它看成一元二次方程，题目中的an>=a3均成立，意思代表，a3时取最小值，因为n只能取整数，所以抛物线的对称轴在2.5和3.5之间
所以2.5<=对称轴k/2<=3.5
5<=k<=7
这个只是我的做法而已，很简单吧！嘿嘿
至于你说的方法呢，k^2+36-12n<=0在哪得到的啊？我真的看不出来哦！

追问

△公式得到的，为什么不可以呢？

追答

不对呀,你没有说明它的取植范围啊!你不懂得话就加我的QQ把,897280292!

Answer 3

肯定不行，题目中没说K=N，应该设F(X)=n^2-kn-9+3K>=o
应该是4<=k<=7，当N=1时，K就大于等于4

Answer 4

上完大学以后，高中的题都不会了...

Answer 5

答案是5<=k<=7