在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：AD的平方=AC的平方+BD的平方。
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证明：
AD²=（AB-BD）²
=AB²+BD²-2AB×BD
=AC²+BC²+BD²-2AB×BD
=AC²+BD²+（BC²-2AB×BD）
因为△ABC和△MBD都是直角三角形，又∠ABC=∠MBD，所以△ABC∽△MBD，所以有一下关系
AB：MB=BC：BD
MB×BC=AB×BD
∵M是BC的中点，
∴BC=2MB
∴MB×BC=2MB²=AB×BD
∴（2MB）²=2AB×BD
∴BC²=2AB×BD
即BC²-2AB×BD=0
∴AD²=AC²+BD²+（BC²-2AB×BD）=AC²+BD²
AD²=（AB-BD）²
=AB²+BD²-2AB×BD
=AC²+BC²+BD²-2AB×BD
=AC²+BD²+（BC²-2AB×BD）
因为△ABC和△MBD都是直角三角形，又∠ABC=∠MBD，所以△ABC∽△MBD，所以有一下关系
AB：MB=BC：BD
MB×BC=AB×BD
∵M是BC的中点，
∴BC=2MB
∴MB×BC=2MB²=AB×BD
∴（2MB）²=2AB×BD
∴BC²=2AB×BD
即BC²-2AB×BD=0
∴AD²=AC²+BD²+（BC²-2AB×BD）=AC²+BD²
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