Question

A如图①，直线L过正方形ABCD的顶点B,A,C两个顶点在直线L同侧，过点A,C分别作AE⊥直线L，CF⊥直线

(1)试说明：EF=AE+CF
(2)如图②，当A,C两个顶点在直线L两侧时，其他条件不变，猜想EF，AE,CF满足什么数量关系（直接写出答案，不必说明理由）

Answer 1

（1）因为三角形AEB与三角形BFC全等，这个可以通过角边角相等来证明，（边AB等于边CB，除直角外的两个角很容易看出来相等）所以AE=BF,CF=BE，两个相加得到EF=AE+CF
（2）仍然是两个三角形全等，不过结论为AE-CF的绝对值等于EF

Answer 2

证明：（1）∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△AEB和△BFC中，
AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=AE+CF，

（2）易证，△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，AE=BF，
∴EF+BE=CF，
即EF+CF=AE，
整理得EF=AE-CF．
今天我也正好做到，就教教你吧

Answer 3

如图①，直线l过正方形ABCD的顶点B，A，C两顶点在直线l同侧，过点A，C分别作AE⊥直线l，CF⊥直线l．
（1）试说明：EF=AE+CF；
（2）如图②，当A，C两顶点在直线l两侧时，其它条件不变，猜想EF，AE，CF满足什么数量关系（直接写出答案，不必说明理由）．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）利用正方形的性质得到∠ABC=90°，AB=CB，由AE⊥直线l，CF⊥直线l，可得到∠AEB=∠CFB=90°，
再由∠CBF+∠ABE=90°和∠FCB+∠CBF=90°，利用同角的余角相等可证明∠ABE=∠BCF，这样可以证明△AEB≌△BFC，即可得出答案；
（2）先证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，即可以得出EF=AE-CF．解答：证明：（1）∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△AEB和△BFC中，
AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=AE+CF，

（2）易证，△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，AE=BF，
∴EF+BE=CF，
即EF+CF=AE，
整理得EF=AE-CF．点评：此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段之间的等量关系经常运用全等解决，同学们应学会这种思想．

Answer 4

证明：（1）∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△AEB和△BFC中，
AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=AE+CF，

（2）易证，△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，AE=BF，
∴EF+BE=CF，
即EF+CF=AE，
整理得EF=AE-CF．

Answer 5

回答者： _火儿 | 二级 | 2011-6-17 09:52

证明：（1）∵AE⊥直线l，CF⊥直线l，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=CB，
∴∠CBF+∠ABE=90°，
∵∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠ABE=∠BCF，
在△AEB和△BFC中，
AB=BC，∠AEB=∠CFB，∠ABE=∠BCF，
∴△AEB≌△BFC，
∴AE=BF，BE=CF，
∴EF=AE+CF，

（2）易证，△ABE≌△BCF，
∴BE=CF，AE=BF，
∴EF+BE=CF，
即EF+CF=AE，
整理得EF=AE-CF．

Answer 6

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