Question

定义在R上的偶数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且在[-3，-2]上是减函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则选择

A. f(sinα)>f(cosβ) B. f(sinα)<f(cosβ) C.f(sinα)>f(sinβ) D. f(cosα)>f(cosβ)
请帮忙选择一个正确答案吧，谢谢

Answer 1

选A

因为是锐角三角形，所以α+β>90
从而 90> α >90-β>0
故 1>sinα > sin(90-β) = cosβ >0
又 f(x+2) = -f(x+1) = f(x)
即 f(x) = f(x-2)
而f(x) 在[-3，-2]上是减函数,从而知f(x)在[-1,0]上是减函数
又f(x)是偶函数，所以f(x)在[0,1]上是增函数，从而知f(sinα)>f(cosβ)

Answer 2

解：答案选A
因为f(x+1)=-f(x)所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，所以f(x)为以2为周期的一个周期函数
因在[-3,-2]上为减函数，因为为偶函数且周期为2所以[-2,-1]为曾函数，所以由周期知道
[-2+2,-1+2] 即[0,1]为曾函数。
α，β为锐角α+β>90,因为sina在（0，90）为曾函数,所以1>sin(α)>sin(90-β)=cos(β）>0
因为f(x)在【0，1】曾，所以f(sinα)>f(cosβ)