Question

已知球的直径SC=4,A,B是该球上的两点,AB=√3,∠ASC=∠BSC=30°,则棱锥S-ABC的体积

Answer 1

解：设球心为点O，作AB中点D，连结OD,CD
因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，
则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4,∠ASC=30°
得：AC=2,SA=2√3
又在Rt△SBC中，SC=4,∠BSC=30°
得：BC=2,SB=2√3
则：SA=SB,AC=BC
因为点D是AB的中点
所以在等腰三角形ASB中，
SD⊥AB且SD=√(SA²-AD² )=√(12-3/4)=3√5/2
在等腰三角形CAB中，
CD⊥AB且CD=√(AC²-AD² )=√(4-3/4)=√13/2
又SD交CD于点D
所以：AB⊥平面SCD
即：棱锥S-ABC的体积：V=AB*S(△SCD)/3
以下求△SCD的面积：
因为：SD=3√5/2,CD=√13/2,SC=4
所以由余弦定理得：
cos∠SDC=(SD²+CD²-SC²)/(2SD*CD)
=(45/4+13/4-16)/[2*(3√5/2)*(√13/2)]
=(-6/4)/(3√65/2)
=-1/√65
则：sin∠SDC=√(1-cos²∠SDC)=√(1-1/65)=8/√65
由三角形面积公式得
△SCD的面积S=SD*CD*sin∠SDC/2
=(3√5/2)*(√13/2)*(8/√65)/2
=3
所以：棱锥S-ABC的体积：V=AB*S(△SCD)/3
=√3*3/3=√3