Question

如图，过三角形ABC顶点B和C分别作AB、AC的垂线BD与CD，两线交与D，有C作CE垂直于AD，交AB与E，交AD与F

如图，过三角形ABC顶点B和C分别作AB、AC的垂线BD与CD，两线交与D，有C作CE垂直于AD，交AB与E，交AD与F,求证：三角形ACE相似于三角形ABC
图片.....

Answer 1

解：因为∠AFE=∠ABD=90°，且∠EAF=∠DAB
所以：△AFE∽△ABD
则：AE/AD=AF/AB,
即：AE*AB=AF*AD (1)
同理由∠AFC=∠ACD=90°，且∠CAF=∠DAC
所以：△AFC∽△ACD
则：AF/AC=AC/AD,
即：AF*AD=AC*AC (2)
由(1)(2)两式易知：
AE*AB=AC*AC
即：AE/AC=AC/AB
又∠CAE=∠BAC
所以：三角形ACE相似于三角形ABC （两边夹角）

Answer 2

提示如下

如学过圆内接四边形方面的知识，角ABC=角ADC=角ACF，即可证明三角形ACE相似于三角形ABC

如没学过
取AD中点G连接GC，GB
GA=GD=GC=GB
角CAG=角ACG，角GAB=角GBA，角GCB=角GBC
角ABC=180度-（角ACB+角CAB）=180度-（角GCB+角GCA+角GAC+角GAB）
=180度-（角GCB+角GAB+2*角GAC）=180度-（角GAB+角GBC+2*角GAC）
=180度-（角ABC+2*角GAC）
角ABC=（180-2角GAC)/2=90-角GAC=角ACE
角CAB=角CAE
所以三角形ACE相似于三角形ABC

Answer 3

证明：∵AC⊥CD，AB⊥BD∴A、B、D、C在以AD为直径的圆上∴∠CAD=∠CBD（同弧上的圆周角相等）∵AF⊥AF，AB⊥BD∴∠ACE=∠ABC（等角的余角相等）在△ACE和△ABC中∠ACE=∠ABC，∠CAE=∠BAC∴△ACE∽△ABC

Answer 4

.32.