Question

设函数f(x)=-cos²x-4tsinx/2cosx/2+4t³+t²-3t+4,x∈R.其中|t|≤1，将f（x）最小值记为g（t

1.求g（t）表达式
2.讨论g（x）在区间（-1,1）内的单调性并求极值

Answer 1

（1）、f（x）=-cos²x-4tsinx/2cosx/2+4t³+t²-3t+4
=-（1-sin²x）-2tsinx+4t³+t²-3t+4
=sin²x-2tsinx+t²-t²-1+4t³+t²-3t+4
=（sinx-t）²+4t³-3t+3
∵ |t|≤1
∴ -1≤t≤1
又∵ -1≤sin≤1
∴当sinx=t 时，f（x）有最小值
所以g（t）=4t³-3t+3
（2）∵由（1）已知g（x）=4t³-3t+3
g‘（t）=12t²-3
令g‘（t）=0
t=±1/2∈（-1,1）
当t∈（-1，-1/2）时，g‘（t）＞0，g（t）单调增
当t∈（-1/2，1/2）时，g‘（t）＜0，g（t）单调减
当t∈（1/2，1）时，g‘（t）＞0，g（t）单调增
所以g（t）的单调增区间为（-1，-1/2）或（1/2，1）
g（t）的单调减区间为（-1/2，1/2）
当t=-1/2时g（t）有极大值，g（-1/2）=4
当t=1/2时g（t）有极小值，g（1/2）=2

Answer 2

1.f（x）=sin平方x-2tsinx+4t立方+t平方-3t+3=（sinx-t）平方+4t立方-3t+3
g（x）=4t立方-3t+3
2.g（x）‘=12t平方-3
t在（-1，-1/2）和（1/2，1）上单调递增，（-1/2，1/2）上单调递减

追问

g（x）‘=12t平方-3
这一步怎么来的啊

追答

求导