Question

线性代数 二次型问题

RT。
已知二次型f(x1,x2,x3)=（X^T）AX=x1^2-5x2^2+x3^2+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3
的秩为3，且（2，1，2）^T是A的特征向量，则经正交变换得到的二次型标准形是？
我想问的问题是 r(A)=3能否推出A的行列式=0 为什么？
那此题该如何求解？ 求解思路也可

Answer 1

这题还有点意思.
解: 二次型的矩阵 A =
1 a 1
a -5 b
1 b 1
由(2,1,2)^T是A的特征向量得
A(2,1,2)^T = λ1(2,1,2)^T
即有 a+4 = 2λ1
2a+2b-5 = λ1
b+4 = 2λ1
解得: a=b=2, λ1=3
即知A有特征值λ1=3.

因为r(A) < 3, [题目有误, 应该是秩小于3, 因为|A|=0]
所以A的特征值λ2=0.

再由特征值的和等于矩阵的迹得
λ1+λ2+λ3 = 3+0+λ3 = 1-5+1 = -3
所以 λ3=-6.
即A的所有特征值为 3,-6,0

所以二次型的标准形为
f(y1,y2,y3) = 3y1^2-6y2^2.

满意请采纳^_^

Answer 2

不能， r(A)=3就是所这是个满秩矩阵，它的行列式必不为零；n阶行列式的秩r(A)<n时lAl=0，r(A)=n时lAl≠0。
几个充要条件：A可逆，lAl≠0，r(A)=n，齐次方程Ax=0只有零解，非齐次方程Ax=b有唯一解，A的特征值全不为零，A的行（列）向量线性无关
（2，1，2）是特征向量，由Ax=kx，得到方程组a+4=2k，2(a+b)-5=k，b+4=2k，解得a=b=2，k=3，然后再求剩下两个特征向量就行了。这个题如果r(A)<3，就能得到有一个特征值为0，另一个特征值k=3上面已求出，0+3+λ=1-5+1，得λ=-6。
再有问题请点追问~

Answer 3

你可先由特征向量求出a=4,b=5再用正交线性替换求解。