Question

如图11-1在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°

在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2 ＋CE2 =DE2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

Answer 1

解：（1）△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA．
∵∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA．
又∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA．

（2）∵△ABE∽△DCA，
∴ ．
由依题意可知CA=BA= ．
∴ ．
∴m= ．
自变量n的取值范围为1＜n＜2．

（3）由BD=CE可得BE=CD，即m=n，
∵m= ，
∴m=n= ．
∵OB=OC= BC=1，
∴OE=OD= -1．
∴D（1- ，0）．
∴BD=OB-OD=1-（ -1）=2- =CE．
DE=BC-2BD=2-2（2- ）=2 -2．
∵BD2+CE2=2BD2=2（2- ）2=12-8 ，DE2=（2 -2）2=12-8 ，
∴BD2+CE2=DE2．

（4）成立．
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中．
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2．
∴BD2+CE2=DE2．

Answer 2

（3）成立（9分）
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD，
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2
即BD2+CE2=DE2．

Answer 3

成立．
证明：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH的位置，则CE=HB，AE=AH，
∠ABH=∠C=45°，旋转角∠EAH=90°．
连接HD，在△EAD和△HAD中．
∵AE=AH，∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD，AD=AD．
∴△EAD≌△HAD．
∴DH=DE．
∵∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°，
∴BD2+HB2=DH2．
∴BD2+CE2=DE2．

Answer 4

有没有图？

Answer 5

图呢？