Question

概率论与数理统计习题

已知随机变量X的概率密度为f（x）=c×e的（-x*x+x）次方，-∞＜x＜∞,试确定常数c.
答案是c=e的-1/4次方除以根号派。求过程。

Answer 1

f(x)=ce^(-x*x+x)
=ce^[-(x-1/2)^2+1/4]
=ce^(1/4)e^[-(x-1/2)^2]
对f(x)求积分,前面ce^(1/4)是常数不动,
后面e^[-(x-1/2)^2],在-∞＜x＜∞的积分有公式,是等于√π
由于是概率密度,f(x)的积分要等于1
所以ce^(1/4)√π=1
即c=e^(-1/4)/√π

追问

e^[-(x-1/2)^2],在-∞＜x＜∞的积分有公式,是等于√π
在哪里有？原理？

追答

公式在哪看的忘了,推导如下
[e^(-x^2)dx]^2
=[e^(-x^2)dx] [e^(-y^2)dy]
=e^[-x^2-y^2]dxdy
变量替换为极坐标,其中θ范围是[0，2π]，r是[0，+∞)
dθe^(-r^2)rdr
这个积分得到π，开方以后就是√π

那个1/2可以用变量替换去掉