Question

在三角形ABC中，AB=AC=6cm，BC=4cm点D为AB的中点 如果点P在线段BC上以1cm/s 的速度由点B向点C运动

点Q在AC上由C向A运动（1）若点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，△BPD与△CQP全等？（2）若点Q以（1）中的速度从点C出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的那条边上相遇？

Answer 1

1.由于点P和点Q运动速度不相等，所以此时经过相等的时间，BP和CQ不再相等。所以想要△BPD与△CQP全等的话，只能让BD=CQ或者BD=PQ。又因为角B=角C，不妨先看BD=CQ的情况。此时若要证△BPD与△CPQ全等，须BP=CP，即P是BC中点，BP=CP=2。所以CQ=BP=3。此时又因为P、D是两边的中点，所以PD是△ABC的中位线，所以PD=1/2AC=6=PQ=CQ；所以BD=PQ的情况和BD=CQ的情况一样。由于CQ=3，BP=2，所以Q点运动速度是P点的1.5倍，所以Q点的运动速度为1.5cm/s时，能使△BPD与△CPQ全等。
2.是一种追及问题。不妨始终站在P点上向后看Q点，相遇时，Q点比P点多跑了CA和AB两条边的距离24cm。所以设所用时间为t。1.5t-1t=12 => t=24s。由于△ABC周长为16cm，经过24s，P点运动了24cm，在AC边上距C点4cm处。所以经过24s后在AC边上相遇。