Question

设a,b,c∈R+,求证(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9

Answer 1

（1/a+1/b+1/c)≥9/(a+b+c);
(bc+ac+ab)/abc≥9/(a+b+c);
所以只证：(a+b+c)(bc+ac+ab)≥9abc；
abc+a²c+a²b+b²c+abc+ab²+bc²+ac²+abc≥9abc;
(a²+b²)c+(a²+c²)b+(b²+c²)a≥6abc
因为：a²+b²≥2ab，a²+c²≥2ac,b²+c²≥2bc,所以得证

Answer 2

最简单的办法就是直接利用一个重要的不等式：柯西不等式
第二个办法就是暴力展开后（展开后得到 3+sigma（a/b+b/a）），均值不等式就可以得到。

Answer 3

证明：
∵a,b,c∈R+
∴由柯西不等式可得：
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥(1+1+1)²=9.
等号仅当a=b=c时取得。
∴（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9.