已知a√1-b²+b√1-a²=1,求证a²+b²=1
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a√1-b²+b√1-a²=1
a√1-b²=1-b√1-a²,左右两边同时平方得
a²(1-b²)=1+b²(1-a²)-2b√1-a²
a²-a²b²=1+b²-a²b²-2b√1-a²
1+b²-a²=2b√1-a²,左右两边同时平方得
1+b⁴+a⁴+2b²-2a²-2a²b²=4b²(1-a²)=4b²-4a²b²,整理得
a⁴+b⁴+1-2a²-2b²+2a²b²=0
(a²+b²-1)²=0
则a²+b²=1
a√1-b²=1-b√1-a²,左右两边同时平方得
a²(1-b²)=1+b²(1-a²)-2b√1-a²
a²-a²b²=1+b²-a²b²-2b√1-a²
1+b²-a²=2b√1-a²,左右两边同时平方得
1+b⁴+a⁴+2b²-2a²-2a²b²=4b²(1-a²)=4b²-4a²b²,整理得
a⁴+b⁴+1-2a²-2b²+2a²b²=0
(a²+b²-1)²=0
则a²+b²=1
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