Question

已知数列{an}中，a1=5,an=2a(n-1)+2^n-1(n∈N*,n≥2) 求数列{an}的前n项和Sn

Answer 1

数列{an}中，a1=5,
an=2a<n-1>+2^(n-1)(n∈N*,n≥2),
∴an/2^(n-1)=a<n-1>/2^(n-2)+1
=……=a1+n-1=n+4,
∴an=(n+4)*2^(n-1),
∴Sn=5+6*2+7*2^2+……+（n+4)*2^(n-1),
2Sn=.....5*2+6*2^2+……+（n+3)*2^(n-1)+(n+4)*2^n,
相减得-Sn=5+2+2^2+……+2^(n-1)-(n+4)*2^n
=3+2^n-(n+4)*2^n,
∴Sn=(n+3)*2^n-3.

Answer 2

∵an=2a(n-1)+2^(n-1) ，两边同除以2^n：an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2——常数
所以{an/2^n}是首项为5/2公差是1/2的等差数列
所以an/2^n=(n+4)/2，an=(n+4)2^(n-1)
Sn=a1+a2+……+an=5+6×2+7×2^2+……+(n+4)2^(n-1)
2Sn=5×2+6×2^2+……+(n+3)2^(n-1)+(n+4)2^n
二式相减得：-Sn=5+[2+2^2+……+2^(n-1)]-(n+4)2^n
所以：Sn=(n+3)2^n-5