Question

已知an=n/2^n+n-3,求Sn

Answer 1

设bn=n(1/2)^n，其前n项和为Bn，则Sn=Bn＋(1＋2＋3＋…＋n)－3n=Bn＋(1/2)n(n＋1)－3n。这样的话，只要求出Bn即可，采用错位法求Bn，即：
Bn=1×(1/2)＋2×(1/2)²＋3×(1/2)³＋…＋n×(1/2)^n
(1/2)Bn=1×(1/2)²＋2×(1/2)³＋…＋n×(1/2)^(n＋1) 两式相减，得：
(1/2)Bn=(1/2)＋(1/2)²＋(1/2)³＋…＋(1/2)^n－n×(1/2)^(n＋1)
=1－(n＋2)×(1/2)^(n＋1)
所以，Bn=2－(n＋2)×(1/2)^n 即可求出Sn的表达式。

追问

非常感谢！您这速度也太给力了！

追答

呵呵，结果还得你自己再整合下，另外，仔细看下计算过程，有无错误。

Answer 2

Sn＝∑(n/2^n+n-3)
＝∑(n/2^n)+n(n-1)/2-3n
＝∑(n/2^n)+n(n-7)/2

∑(n/2^n)
＝1/2+2/2^2+......+n/2^n

∑(n/2^n)+n/2^n
＝1/2+2/2^2+......+n/2^n+n/2^n
＝1/2+2/2^2+......+(n-1)/2^(n-1)+n/2^(n-1)
＝[1/2+2/2^2+......+(n-1)/2^(n-1)+(n-1)/2^(n-1)]+1/2^(n-1)
＝[1/2+2/2^2+......+(n-2)/2^(n-2)+(n-2)/2^(n-2)]+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)
＝.......
＝1+1/2+.......+1/2^(n-2)+1/2^(n-1)
＝2-1/2^(n-1)

∑(n/2^n)
＝2-1/2^(n-1)-n/2^n

Sn＝2-1/2^(n-1)-n/2^n+n(n-7)/2