Question

初中二次函数

抛物线y=ax^2+bx-3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C且OB=OC=3OA
(1) 求抛物线的解析式
(2) 探索坐标轴上是否存在点P使得以PAC为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在请说明理由
(3) 直线y=-1/3x+1 交y轴于D点，E为抛物线顶点，若∠DBC=a，∠CBE=β，求α-β值

Answer 1

(1)A（-1,0）B（3,0）C（0，-3）
代入y=ax^2+bx-3
0=a-b-3; 0=9a+3b-3 得a=1 b=-2 抛物线的解析式y=x^2-2x-3
(2)
若∠P为直角，由图像可知P点即为原点O，P（0，0）
若∠A是直角，可知P在Y轴正半轴上，则PA⊥AC，有OA²=OP*OC
得OP=1/3，即P（0,1/3）
若∠C是直角，可知P在X轴正半轴上，则PC⊥AC，有OC²=OP*OA
得OP=9，即P（9,0）
综上，满足题意得P点坐标为(0,0),(0,1/3),(9,0)
(3)
令x=0，得y=-1/3*0+1=1，即D（0,1）
y=x²-2x-3=(x-1)²-4,即E(1,-4)
则CD=4，BD=√10,BC=3√2,BE=2√5，CE=√2
由余弦定理
cosα=(BD²+BC²-CD²)/2BDBC=√5/5，sinα=2√5/5
cosβ=(BC²+BE²-CE²)/2BCBE=3√10/10，sinβ=√10/10
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=√5/5*3√10/10+2√5/5*√10/10=√2/2
所以α-β=45°

追问

第三个问能用初中知识解答吗

追答

是余弦定理没学吧，余弦定理上面的部分应该看得懂吧？

追问

是的 没学余弦定理的公式
我们用北师版的教材

追答

是我想复杂了 余弦定理要高中才学的 初中什么版本都没有的
继续
在△BOD,△BCE中
CE/OD=BE/BD=BC/BO=√2
则△BOD∽△BCE
∴∠DBO=∠CBE
∴α-β=∠DBC-∠CBE=∠DBO+∠OBC-∠CBE=∠OBC=45°

追问

你好棒！ 请问您是老师吗？

追答

现在还不是，不过正在往这个方向努力

追问

要做公历老师还是民办老师？

Answer 2

(1)A（-1,0）B（3,0）C（0，-3）
代入y=ax^2+bx-3
0=a-b-3; 0=9a+3b-3 得a=1 b=-2 抛物线的解析式y=x^2-2x-3
(2)假设存在P(x,y),则有(y+3)^2=(3^2+1^2)+(y^2+1^2) 得y=1/3 代入解析式，得x^2-2x-10/3=0 因为P在坐标轴上，所以x=0,于上述矛盾，故不存在P点
（3）不会 不学数学很多年了 忘掉了