Question

一道高中立体几何数学题

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分是AB、PC的中点，求证：
（1）MN⊥CD（2）若∠PDA=45°，求证MN⊥平面PCD

Answer 1

（1）
连接AC，取AC的中点为E，连接NE，连接ME。
因为PN = NC, AE = EC
所以PA//NE，又因为 PA⊥平面ABCD
所以NE⊥平面ABCD
所以NE⊥CD..........[1]
因为AM = MB, AE = EC
所以ME//BC，又因为AB⊥BC
所以ME⊥AB, 又因为AB//CD, 所以ME⊥CD.........[2]
因为[1]和[2]
所以CD⊥平面MNE
所以MC⊥CD

（2）取PD的中点F，连接AF, NF
因为PN = NC, PF = FD
所以NF//CD，又因为AB//CD
所以NF//AB
又因为AM = 1/2 AB = 1/2 CD = NF
所以AMNF是平行四边形
所以AF//MN
因为APD是等腰直角三角形，而F又是PD的中点
所以AF⊥PD， 又因为AF//MN
所以MN⊥PD，又因为MN⊥CD
所以MN⊥平面PCD

Answer 2

证明：（1）。连接AC、BD交于点O，连接NO
可得NO平行于PA
所以MO为MN在面ABCD内的射影
又因为MO为△ABC的中位线
所以MO平行且等于二分之一的BC
因为ABCD为矩形
所以MO平行于BC垂直于CD
所以MN垂直于CD
（2）因为角PDA=45°
所以PA=AD=BC
连接MP、MC
又因为M为AB的中点
△PAM全等于△MBC（SAS）
则MP=MC
所以三角形PMC为等腰三角形
因为N为PC中点
所以MN垂直于PC
又因为MC垂直于CD
CD交PC于点C
所以MN垂直于面PCD
p.s：解答时只需将文字描述换为几何语言即可

Answer 3

（1）取CD中点F，则NF⊥CD（因为PD在面ABCD的映射是AD，所以PD⊥CD则中线NF∥PD，即可得NF⊥CD）；又因为MF⊥CD，所以，CD⊥△MNF，即可推出CD⊥MN。
（2）取PD中点H，连接AH和NH ，则PD⊥AH，PD⊥AM，所以，PD ⊥面AMNH ，所以MN⊥PD，又因为CD⊥MN，所以MN⊥平面PCD

Answer 4

1.证：连结AC、AN、BN，∵PA⊥平面ABCD，Rt△PAC中，N是PC中点，∴AN=1/2PC；又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD、PA⊥AB，∴AD⊥平面PAB，∵BC∥AD，BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，Rt△PBC中，N是PC中点，∴BN=1/2PC；∴AN=BN，等腰△NAB中，M是AB中点，∴MN⊥AB，∵AB∥CD，∴MN⊥CD。
2.证：作PD中点Q，连结AQ、NQ，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，Rt△PAD中，∠PDA=45°，∴PA=AD，又Q是PD中点，∴AQ⊥PD；∵△PCD中，N、Q是PC、PD中点，∴NQ∥=1/2CD，又MA∥=1/2CD，∴MA∥=NQ，∴四边形MNQA为平行四边形，MN∥AQ，∴MN⊥PD，又已证MN⊥CD，∴MN⊥平面PCD。