Question

高手请进 在数列{an}中，0＜an＜2，a1=1，a（n+1)=（1/2）an（4-an）

求通项公式an

Answer 1

设bn=an-2,则b1=a1-2=-1,an=bn+2
b(n+1)=a(n+1)-2
=1/2an(4-an)-2
=1/2(bn+2)[4-(bn+2)]-2
=-1/2(bn)^2
当n>1时
bn=-1/2[b(n-1)]^2
=-1/2{-1/2[b(n-2)]^2}^2
=-1/(2^3)[b(n-2)]^4
=-1/[2^(2n-3)](b1)^(2n-2)
=-1/[2^(2n-3)]
所以当n>1时an=bn+2=2-1/[2^(2n-3)]

Answer 2

a（n+1)=（1/2）an（4-an）整理后得 2 a(n+1) = 4an - an^2
变形为 2 [ 2 - a(n+1) ] = ( 2 - an )^2
两边同时取以2为底的对数 1 + log(2) [ 2 - a(n+1) ] = 2 log(2) ( 2 - an )
即 log(2) [ 2 - a(n+1) ] - 1 = 2 [ log(2) ( 2 - an ) - 1 ]
∴ { log(2) ( 2 - an ) - 1 } 是以 log(2) ( 2 - a1 ) - 1 = - 1 为首项，2为公比的等比数列
∴ log(2) ( 2 - an ) - 1 = - 2^( n - 1 )
最后把 an 解出来，即可

Answer 3

a（n+1)=（1/2）an（4-an）----> 2 a(n+1) = 4an - an^2
--------->2 [ 2 - a(n+1) ] = ( 2 - an )^2
----->1 + log(2) [ 2 - a(n+1) ] = 2 log(2) ( 2 - an )
即 log(2) [ 2 - a(n+1) ] - 1 = 2 [ log(2) ( 2 - an ) - 1 ]
{ log(2) ( 2 - an ) - 1 } 是以 log(2) ( 2 - a1 ) - 1 = - 1 为首项，2为公比的等比数列
log(2) ( 2 - an ) - 1 = - 2^( n - 1 )
an=2-2^(1-2^(n-1))

Answer 4

回答都对 回答的时间都差不多 提问人不好给分啊

Answer 5

对数列两边同时减去2得到：a(n+1)-2=1/2(4*an-an^2-4)=-1/2(an-2)^2 (^表示乘方，如x^2表示x的平方)
则an-2=-1/2{a(n-1)-2}^2=(-1/2)^(n-1)*(a1-2)^2
所以an=2+(-1/2)^(n-1)

Answer 6

呵呵...他们都回答了..