Question

已知函数f(x)=ax^2-1(a,b属于R），??？

已知函数f(x)=ax^2-1(a,b属于R），设集合A=｛X/f(x)=x},B={x/f(f(x))=x},且A=B不属于空集，求实数a的取值范围。

Answer 1

任意x∈A,f(x)=x,必有f(f(x))=f(x)=x,即x∈B要使A=B,就是使B中除了A中元素没有其他元素1)a=0,f(x)=-1,A={-1},B={-1},A=B成立2)a≠0,f(x)=x有解,即ax^2-x-1=0,△=1+4a>=0, a>=-1/4f(f(x))-x=a(ax^2-1)^2-1-x=0, a^3x^4-2a^2x^2-x+a-1=0∵A中元素必是B中元素, ∴a^3x^4-2a^2x^2-x+a-1必可以分解出ax^2-x-1这个因式∴(ax^2-x-1)(a^2x^2+ax-a+1)=0A=B等价于a^2x^2+ax-a+1=0无解或者它的解都是ax^2-x-1=0的解△=a^2-4a^2(-a+1)=a^2(4a-3)①△<0, a<3/4, 即-1/4<=a<3/4,且a≠0②△=0,a=3/4,a^2x^2+ax-a+1=9x^2/16+3x/4+1/4=(9x^2+12x+4)/16=(3x+2)^2/16=0 将x=-2/3代入ax^2-x-1=(3/4)*(4/9)+2/3-1=0,在A中, ∴a=3/4可取③△>0,a>3/4,此时a^2x^2+ax-a+1=0与ax^2-x-1=0同解 ∴a^2/a=a/(-1)=(-a+1)/(-1),a无解综上,a的范围为-1/4<=a<=3/4